１次関数とは？

質問

現在、授業で『１次関数』について習っているんですけど、休んだりして所々抜けています。
なので、やり方や意味が全然分かりません。
出来ればわかりやすくお願いします。

後、『１次関数と方程式』についてもお願いします。

回答No.7

fushigichan · ベストアンサー

SARASA13さん、こんにちは。

一次関数について、よく分からないということですね。
一次関数って、名前は難しそうですけど、比例と同じようなことなんです。

たとえば、１冊５０円のノートがあったとします。
２冊買うと、５０×２＝１００　円です。
３冊買うと、５０×３＝１５０　円ですね。
このとき、何冊買うか、をx冊買う、として
いくらになるか、をy円になる、とすると

ｙ＝５０ｘ

という式になるんですね。
（ｘのところに、１冊、２冊・・と入れていってみてください）

もう一つ、１個１００円のケーキがあります。
３０円の箱に入れてもらうとしますね。
そのとき、ケーキを５個買えば、いくら払うでしょうか？
ケーキ５個分＋箱代ですから
１００×５＋３０　円払いますね。

もし、ケーキを１０個買うとすると、いくら払うでしょうか？
１００×１０＋３０　円払いますね。

いくら払うか、をｙ円
ケーキをいくつ買うか、をｘ個としますと

ｙ＝１００ｘ＋３０

という関係が成り立っています。
（ケーキの個数ｘ個に、１個、２個・・・と入れていってみてください）

このように、
y=ax + b
の形で表されるような関係を、一次関数、といいます。
ノートやケーキの数が増えれば増えるだけ、払う値段も増えています。
これは、比例と同じ考え方ですね。
これが基礎です。aやbの値を変えていけば、いろいろな一次関数ができます。
a<0にすると、xが増えれば増えるほど、yはへっていく、という面白い状態になります。
ここは、とりあえず上のノートとケーキの例を理解してから
教科書を見比べてみてくださいね。
頑張ってください！

お礼

ありがとうございます!!
凄くわかりやすかったです。
いきなり大きい数で考えていたから駄目だったんですね。
今度は教科書の例題・ワークなどの問題をやってみようと思います。

回答No.11

apple-man

なんか他の方の回答では、要点がすっきりして
いないようなので、老婆心ながら・・・

＜式とは何か？＞

　＝（イコール）で結ばれた関係です。
条件はいろいろあっても、
　＝　をはさんで、右と左が同じ
という関係を示したものを式をいいます。

　１＋１＝２
これも式です。

＜関数とは何か？＞
　ある★関係に従って、★数字が変化して行く
式のことです。

　ｙ＝ｘ
これが関数の例です。
ｘもｙも、具体的な数字ではなく、
ｘ＝１としたときにｙ＝１と
なり
ｘ＝２となったときにｙ＝２
となるように、
ｘを変えたとき、ｙも変わって
いく状態を意味します。
当てはめる数字を変えていくので、
ｘやｙを変数と言います。

＜１次関数とは？＞
　掲示板上ですので、記号がうまく書けませんが

　２＾２＝２×２＝４
　３＾２＝３×３＝９

　２＾３＝２×２×２＝８
　３＾３＝３×３×３＝２７

＾という記号はそういう意味と考えて下さい。

　ｙ＝ｘ（１次関数）
　ｙ＝ｘ＾２（２次関数）
　ｙ＝ｘ＾３（３次関数）

　と関数でｘのかけている数で
～次関数と言います。

お礼

ありがとうございます。
なんか、こう考えてみると案外簡単に思えてきました。
数字を何回かけたかで～次関数と言う風になっていたのですね。
わかりやすい説明、ありがとうございました。

回答No.10

albi79

つまり、グラフにすれば「原点を通らない比例」になるわけですね。

式が「一人歩き」しがちなんですが、必ず表とグラフを頭に思い浮かべながら学習を進めると、のちのち「２乗に比例する関数」や高校で「２次関数」を学習したときに役立ちます。

お礼

ありがとうございます。
それなら、なおさら完璧に覚えておかないといけないわけですね!!
原点を通らない比例…
１次関数の場合のグラフは、原点を通らない事になるんでしょうか？

回答No.9

sanori

こんなことまでは、まだ知らなくていいんですが、
大学の数学になると、
y=(ax+b)÷(cx+d)
っていう形のも「一次関数」って呼ぶようになるんですよ！
えー、、、以上、おじさんの薀蓄でした。

お礼

ありがとうございます。
では、この式はまだ覚えるまではいかないけど頭の片隅(？)に入れておけば、役に立つんですね!!

回答No.8

kbannai

小学生のときに習った「比例」というのはわかりますか？

１次関数はこれの延長線にあるものです。１本120円のジュースを１本買ったら、もちろん代金は120円です。５本買ったら、600円ですよね。計算式は120円×５本です。

また、１本150円のジュースを３本買ったらいくらですか？
計算式は、150円×３本＝450円です。

これを一般化すれば、１本a円のジュースをx本買ったら、代金yは ax 円となります。 つまり、y=axです。

それでは、買ったジュースがたくさん入る箱（100円）に入れてもらうことにしたとき、２本買っても、５本買っても箱代は100円ですよね。

例えば、１本150円のジュースを３本買って、100円の箱に入れてもらったときの代金は、550円です。計算式は、150円×３本＋100円です。

これを一般化すれば、１本a円のジュースをx本買ってb円の箱に入れたときの代金yは、 (y=)ax+b 円となります。

これが一番簡単な１次関数の例ですが……では、別の例で考えましょう。

20kmの道のりを時速４kmで歩いた時、３時間後の残り道のりは？

３時間後に歩いた道のりは12kmなので、残りの道のりは、８kmです。

つまり、道のりb kmを時速a kmでx 時間歩いた時の残りの道のりykmは、y=-ax+b で表すことができるのです。

教科書では、グラフ（１次関数は直線！）を考えた後に、このaを傾き、bを切片ということなっていると思います。

グラフを描くとわかるのですが、傾きが右上がり（正）だったり、右下がり（負）になったりします。また、切片も正比例のようにゼロだったり、正や負のときもあります。

xを決めたとき、それに伴ってyが決まるとすれば、yはxの関数と言うし、y=ax+bという式を、ax-y=bと変形すれば、方程式とも見れます。

たぶん、練習問題では、傾きaの値や切片bを値を求めたり、２直線の交点を連立方程式の考え方で求めたりすると思います。

１次関数は関数のうちでもっとも簡単なものです。２次関数もあれば、数式で表すと難しい関数もありますし、数式では表現できない関数もあります。

最後に、やむを得ない欠席で授業がわからなくなったら、担当の先生に質問すれば、もっと丁寧に教えてくれると思いますよ。がんばってください！

お礼

ありがとうございます。
グラフについてまで教えてくださって…
実は、数学の先生は生活指導の先生で…話しかけにくいんです!!
恐くて!!
なので、教えて下さって本当にありがとうございます。

回答No.6

redcap

はじめまして。
「１次関数」は、「比例」と同じように考えます。

「比例」をあらわす式はｙ＝ａｘ
「１次関数」をあらわす式はｙ＝ａｘ＋ｂ
　　ａ：比例定数〔傾き・変化の割合〕
　　ｂ：切片（グラフにあらわしたときグラフがｙ軸と交わる点のｙ座標）
【具体的な例】
水槽に水を入れる様子で説明してみます。
高さが５０ｃｍの水槽があるとします。
水は一定の量が蛇口から出ます。出るスピードは１分間に高さ２ｃｍずつ水槽にたまるスピードです。ｘ分後に水槽にたまった水の高さをｙｃｍとすると

　パターン１：水を入れ始めるとき水槽がからっぽの場合
　　（水の高さ〔ｃｍ〕）＝２かける（水を出した時間〔分〕）
　　　　→式であらわすとｙ＝２ｘ　⇒比例
　パターン２：水槽に水を入れ始めるとき、すでに水が高さ１０ｃｍ入っていた場合
　　（水の高さ〔ｃｍ〕）＝２かける（水を出した時間〔分〕）＋（すでに入っていた水の高さ）
　　　　→式であらわすとｙ＝２ｘ＋１０　⇒１次関数

表で実際の数字で計算してみると
　水を入れた時間　　｜　０｜～｜　５　　　　　　　｜～｜　ｘ
　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　パターン１での水位｜　０｜～｜２×５＝１０　　　｜～｜２ｘ
　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　パターン２での水位｜１０｜～｜２×５＋１０＝２０｜～｜２ｘ＋１０

「比例」は必ず０から始まりますが「１次関数」はそれ以外の場合でも表せるようにしたものです。
パターン２ではもともと１０ｃｍの水が入っていたのでパターン１の右辺に＋１０した形になったのです。

「１次関数と方程式」
　１次方程式をｙ＝ａｘ＋ｂの形に変形してグラフで表すことができるようにします。
たとえば、
　　８ｘ＋３ｙ＝９－ｘ
　　　　　３ｙ＝９－９ｘ
　　　　　３ｙ＝－９ｘ＋９
　　　　　　ｙ＝－ｘ＋９
と「ｙ＝○」の形に変形することができます。

なかなか説明するのは難しいですね。わかりにくかったらすいません。
頑張ってください。

お礼

ありがとうございました!!
表まで書いて下さるなんて…
充分わかりやすかったです!!
本当にありがとうございました。

回答No.5

0shiete

#2です。#2の回答の

>と計算して、高さが10cmになっていることが
わかります。

の部分は、
「と計算して、高さが20cmになっていることが
わかります。」

の間違いです。訂正しお詫び申し上げます。

お礼

わざわざ訂正ありがとうございます。
本当にありがとうございます。

回答No.4

teahyun9

貴方は、中学生ですよね？

小学校の時に、比例という単元を習いましたよね。

Ｙ＝ａＸ　例えば、Ｙ＝２Ｘ…※とか。

中学生で習う、１次関数は

Ｙ＝ａＸ＋ｂ　　と表されます。

導入です。
Ｙ＝２Ｘ＋１

さっきの※、つまり、Ｙ＝２Ｘ　のグラフと比べるために、座標軸を作り、まず、Ｙ＝２Ｘのグラフを書きましょう。
そして、今度は、Ｙ＝２Ｘ＋１に、Ｘ＝０、1、2、3、4、5　と入れて、Ｙを求めましょう。

そして、中学入って最初のころに、正の数と、負の数を習ったと思います。Ｘ＝-1、-2、-3、-4、-5　の時のＹを求め、点を打ちましょう。そして、点をつなぎましょう。

その時の、Ｙ＝２Ｘ　とＹ＝２Ｘ＋１のグラフを比べてみましょう。

まず、比べてみて、どうでしたか？
新しく出てきた、＋１の部分を、切片といいます。

あとは、教科書の例題を理解して、同じ例題を自分で解いてみましょう。練習問題は、学校のワーク（答えつきがいい）または、本屋さんで、数学の問題集（中１、中２というものでいい）を１冊買って、どんどん解いていきましょう。

お礼

ありがとうございます。
こんなに詳しく教えて下さって…
解き方が分かってきたので、さっそく例題やワークなどがあるので、やってみたいと思います!!

回答No.3

mokonoko

分からない部分が分からないと教えることも出来ません。
具体的に分からない問題があるなら、それを例題として書くなど、
疑問点をはっきりしないと答えるのは困難です。

あなたが小学生に「分数が分からない」と言われただけで分数を教えるのが難しいのと同じです。

お礼

すみません。
でも、１次関数という単元自体を丸ごとほとんど習っていないので、ヘタに例題を出さない方が良いと思いまして…

回答No.2

0shiete

１次関数は
y=ax+b
の形になる関数です。

たとえば、すでに10cmの高さまでお湯がはってある
お風呂に1分間に2cmの速さでお湯を足していくと
いう状況は
y=2x+10
と表せます。

5分後のお湯の高さを知りたいときは
xに5をいれて
2×5+10=20
と計算して、高さが10cmになっていることが
わかります。

お礼

ありがとうございます。
そうなると、y=ax+bにあてはまれば全て１次関数になってしまうんですかね？

回答No.1

0shiete

式を書くなどして、
もっと具体的にお願いします。

お礼

すみません。
ですが、ほとんど習ってないも同然なので、式というのがどういう式になるのかもあまり分からないんです。