関数とか指数拡張とか

質問

夏休み以前まで、問題とか3分くらいで解いて先生に見せて帰ってたんですが、最近になって30分かかる様になりました。
今、席替えして、それなりに前の方の席になったのでよかったんですが、木曜まで一番後ろの窓側だったんです。

6月の時の席替えは、入学時の席近い人が固まって移動した席替えだったんです。理由は、せっかく仲良くなったから、もっと仲良くなるからって理由らしいですが。そんなんだから、うるさくて授業まったく聞こえないし、視力悪いから眼が見えないっていうのもあり、
何やってるんだかわかりませんでした。
まあ授業が難しくなってるって言うのもあるかもしれませんが。

三次関数は、y軸の交点だけしかかけませんよね？軸の方程式も頂点もなさそうですし。
y = a(x - b)^3 + c　
でもこれに当てはめれば、軸の方程式も頂点もありそうですよね‥
どうでしょうかね

三次関数とか四次関数とか平行移動するじゃないですか。それはどうやって平行移動させるんですか？
反比例の平行移動するやつはやっとできました。

あと逆関数はxとy入れ替えるって言うのは知ってますが、だから何？って話ですし。
たとえば、y＝x^2-1(0≦x)の逆関数を求め、そのグラフを書けとか、
y＝2/x＋3(1≦x≦2)の逆関数を求め、その定義域と値域を求めよって問題が載ってますが訳分かりません。
あとそのあとの無理関数っていうのも分かりません。
√x(0≦x)がy＝x^2を横にしたみたいなグラフになるとかは分かるんですが、y＝x^2をどうやって横にすればいいのかなと思うんですよ

今日の授業は最大にわからないんです。
指数法則の拡張っていうのやりましたが、意味不です。
2(0以外の数字)^0が1って言うのは覚えましたが

とりあえず、数学何とかしたいんです。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 三次関数は、y軸の交点だけしかかけませんよね？軸の方程式も頂点もなさそうですし。
> y = a(x - b)^3 + c　
> でもこれに当てはめれば、軸の方程式も頂点もありそうですよね‥
> どうでしょうかね

全ての三次関数がその形に変形できるわけではありません。
むしろ、できない三次関数の方が多いです。

y切片(y軸の交点)だけでなく、x切片(x軸の交点)も求められる場合があります。
x軸はy座標が0なので、曲線とx軸との交点のy座標も0です。
よって、三次関数の式にy = 0を代入してxについて解けば、それがx軸との交点のx座標となります。
例として、y = x^3 + 6x^2 - x - 30のx切片を求めます。
y = 0より
0 = x^3 + 6x^2 - x - 30
右辺を因数分解して
0 = (x + 5)(x + 3)(x - 2)
よって、x軸との交点の座標はx = -5, -3, 2。
x切片の座標は(-5, 0)、(-3, 0)、(2, 0)です。

それ以外の方法としては、変数のxにいくつか値を代入して対応するyの値を求め、
点を座標上にプロットして曲線でつなぎます。
先ほどのy = x^3 + 6x^2 - x - 30であれば、

x = -7の時、y = -72
x = -6の時、y = -24
x = -5の時、y = 0
x = -4の時、y = 6
x = -3の時、y = 0
x = -2の時、y = -12
x = -1の時、y = -24
x = 0の時、y = -30
x = 1の時、y = -24
x = 2の時、y = 0
x = 3の時、y = 48
x = 4の時、y = 126
x = 5の時、y = 240
x = 6の時、y = 396
x = 7の時、y = 600

となります。

> 三次関数とか四次関数とか平行移動するじゃないですか。それはどうやって平行移動させるんですか？

2つやり方を載せます。

その1.
『平行移動前の関数のグラフ』を描いて、それを平行移動させるのではなく、
『平行移動後の関数の式』を求めて、その関数のグラフを描きます。
例えばy = x^2のグラフをx軸方向に+3、y軸方向に-2平行移動させたグラフを描きたいなら、
まず『y = x^2のグラフをx軸方向に+3、y軸方向に-2平行移動させたらどんな式になるか？』を求めます。
y = x^2のグラフをx軸方向に+3、y軸方向に-2平行移動させた式は、

y = (x - 3)^2 - 2

となります。
そしてy = (x - 3)^2 - 2のグラフを描きます。

その2.
先ほどと同じ、y = x^2のグラフをx軸方向に+3、y軸方向に-2平行移動させたグラフを描くことを考えます。
『y = x^2のグラフを描き、それを使ってx軸方向に+3、y軸方向に-2平行移動させる』
という方法でもできます。
ただ、曲線をそのまま平行移動させるのは難しいです。
なので『曲線を平行移動させる』のではなく、『曲線上の点を平行移動させる』ということをします。
まず曲線上の特徴的な点をいくつか選び、その点を平行移動します(点の平衡移動は大丈夫ですよね？)。
特徴的な点は、例えばy切片、x切片。二次関数なら頂点を選んでも良いでしょう。
あとはその移動させた点を使って、曲線を描きます。これで平行移動した曲線の完成です。

「絶対にこの2つのやり方のどちらかでやらなくてはならない」というわけではありません。
他にも色々な方法が考えられると思います。