関数方程式 未知関数

質問

関数方程式とはどのようなものでしょうか？
具体的に教えて頂けないでしょうか？

また、関数方程式の中で未知関数とはなんでしょうか？

微分方程式ではない簡単な関数方程式を具体的に教えて下さい。

微分方程式や積分方程式が関数方程式の一種だ
と言うことは調べました。

y'+y＝x・y^3
について未知関数とはどれを示すのですか？
xはf(x)ということでしょうか？

y''+y'-x＝0
などのxもｆ(x)という事でしょうか？

y'＝f(y/x)
y'＝f(x+y)
においの未知関数とは、f(y/x),f(x+y)の事でしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

>微分方程式ではない簡単な関数方程式を具体的に教えて下さい。

Wikipediaに出ていた例は以下の通りです。

すべての指数関数は f(x + y) = f(x)f(y) を満たす。
すべての対数関数は f(xy) = f(x) + f(y) を満たす。
f(x + y) = f(x) + f(y) （コーシーの関数方程式）
f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)] （中線定理、平行四辺形の法則）
f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2 （イェンゼン）
g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)] （ダランベール）
f(h(x)) = cf(x) （シュレーダー方程式）
f(h(x)) = f(x) + 1 （アーベル方程式

指数関数は f(x + y) = f(x)f(y)というのはたとえば

a^(x+y)=a^x*a^y

から意味が解るでしょう。

この場合

f(x)=a^x

が関数方程式

f(x + y) = f(x)f(y)

の解の例です。

＞y'+y＝x・y^3、y''+y'-x＝0
について未知関数とはどれを示すのですか？

未知関数はyです。

＞y'＝f(y/x)
y'＝f(x+y)
においの未知関数とは、f(y/x),f(x+y)の事でしょうか

未知関数はyです。yが満たすべき条件をこのような式で与えています。

お礼

申し訳ありません。
ご回答いただけないようですので、再度新規質問
させて頂きます。

ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

すべての指数関数は f(x + y) = f(x)f(y) を満たす。
すべての対数関数は f(xy) = f(x) + f(y) を満たす。
について、未知関数はどれですか？f(y)が未知関数
でしょうか？

微分方程式の場合、yを求めてyがなにかしらの関数
になるから未知関数と言うのは理解できます。

追加質問で申し訳ありませんが、教えて下さい。
（1）y'＝f(y/x)
（2）y'＝f(x/y)

（1）は線形微分方程式,非線形微分方程式どちらで
しょうか？
（2）は線形微分方程式,非線形微分方程式どちらで
しょうか？
なぜ、そうなるのか理由も教えて頂けないでしょうか。

以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。