マンデルブロート集合で、すぐ近くの点は？

質問

マンデルブロート集合のカオス領域において、点ｃ（複素数）が、含まれるとします。
では、Lim　Δ→０　ｃ＋Δ　という点（Δは実数としてもよい）は、含まれますか？
それとも、定義されない　のでしょうか？

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

c=1/4
z_0=0
z_{n+1}={(z_n)^2}+(1/4)
とする
|z_0|=0<1/2
あるkに対して|z_k|<1/2を仮定すると
|z_{k+1}|=|{(z_k)^2}+(1/4)|≦|z_k|^2+(1/4)<1/2
だからすべての自然数n≧0に対して
|z_n|<1/2
だから

点(1/4)はマンデルブロ集合に含まれる

任意の実数Δ>0に対して
(1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれない

なぜなら
c=(1/4)+Δ>1/4
z_0=0
z_{n+1}={(z_n)^2}+c
とすると
z_1-z_0=c>0
z_1>z_0≧0
あるkに対してz_k>z_{k-1}≧0を仮定すると
z_{k+1}-z_k
=(z_k)^2+c-z_k
=(z_k)^2-(z_{k-1})^2
=(z_k-z_{k-1})(z_k+z_{k-1})>0
z_{k+1}>z_k>0
{z_n}_{n∈N}は単調増加
cがマンデルブロ集合に含まれる仮定すると
{z_n}_{n∈N}は有界単調増加だから収束するから
lim_{n→∞}z_n=x
とすると
x^2+c=x
x^2-x+c=0
(x-1/2)^2=(1/4)-c≧0
c≦1/4となってc>1/4に矛盾する

お礼

ありがとうございます！！

なるほど、実数のｃで考えるて、収束を見るですか。
ｃが、複素数の場合は、絶対値で考えて、同様にすればいいですね。
自分でやってみます！！

補足

とは、言ったものの、、、

ｃが、　-2 の時、任意の実数Δ>0に対して
（-２)+Δはマンデルブロ集合に含まれない

とは、言えないので、
LimΔ→０　（-２)+Δ　の点がどうなるか、同じようにやろうと
したのですが、
＞　{z_n}_{n∈N}は有界単調増加
と言えないような気がします。

どうしたら、よいでしょうか？

回答No.6

noname#171582

区間[－２、０．９９９・・・]はともかく
区間[－２、０．２５１]はM集合では？

回答No.5

noname#171582

>命題1.4 マンデルブロー集合M と実軸R との共通部分は
>区間[－2, 1/4] である
---------------------------------------

区間[－2, 1/4]を”１/４”にしたのは、マンデルブロート集合の図形の特徴が最大に出るのと、数字の区切りが良いからである。

私の定義では、区間[－2, ０．９９９・・]となる。
区間[－2, 1/4]が区間[－2, ０．９９９・・]より
収束が早いと言うのに過ぎない。

従って
区間[－2, ０．２５１]でも似たような図形が出てくるはずで、
むしろ命題１．４として区間[－2, 1/4] と決め付けることは
いかがなものかと思う。

補足

すいません。

#3　の証明では、
「任意の実数Δ>0に対して」
(1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれることを、仮定して、
背理法で、
含まれないことを、証明されているように思えます。

それなのに、何故、
＞私の定義では、区間[－2, ０．９９９・・]となる
のでしょうか？
1/4<ｃ　では、有界単調増加だから
LimΔ→０　１－Δ＝cがマンデルブロ集合に含まれる仮定すると　　（Δ＞０）
x^2+c=x
x^2-x+c=0
(x-1/2)^2-(1/4)＋c＝0
ｃ＝１－Δ　とすると、
(x-1/2)^2＋(3/4)－Δ＝0
(x-1/2)^2≧０　なので、(3/4)－Δ＞０　なら矛盾！
∴　１－Δ＞1/4　は、マンデルブロ集合に含まれない
したがって、
LimΔ→０　１－Δはマンデルブロ集合に含まれないのでは？

回答No.4

noname#171582

>任意の実数Δ>0に対して
>(1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれない
----------------------------

(1/4)+Δ（Δ＝０．００１として）
＝０．２５＋０．００１
＝０．２５１

はマンデルブロー集合のような気がしますが
気のせいかな？

お礼

調べて頂き、ありがとうございます。

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf　を見ると、
命題1.4 マンデルブロー集合M と実軸R との共通部分は区間[－2, 1/4] である
また、
系1.3 マンデルブロー集合M は複素平面C の閉集合である．
とあります。

回答No.2

noname#171582

・マンデルブロー集合のフラクタル的階層図形は
赤色と青色の境界のところで出現しています。
つまり境界点は存在するのかと言う問題と密接にかかわっているのです。しかもいくらCGで出力しても問題は以前未解決のままです。

つまり、数学的に証明しない限り解決しないのです。
しかし、この点を証明した論文があるとも聞いたことがあります。
私が知らないだけで、専門家の間では解決しているのかもしれません。

・マンデルブロート集合は緻密かそうでないか、つまりは
孤立点か」については素直に考えれば緻密です。

なぜなら、もしそうでないとするなら、赤の領域内に
青の領域が存在することになります。それは考えられない。

フラクタル的階層図形は赤色と青色の境界領域で出現しているのであって、内点では出現していない。

しかし、これらことは単なる私の推測であって数学的に証明されたわけではない。よって私にはわかりません。

回答No.1

noname#171582

マンデルブロート集合を赤点の集合とするとき
青点をその外点とするとき、その境界点は存在するのか？

だと思いますが、私にはわかりません。

お礼

ありがとうございます。
ちょっと違います。

マンデルブロート集合は、稠密か？　ということで、
逆に言えば、
マンデルブロート集合は、全て　孤立点か？
です。
（両者は、異なる概念かもしれませんが）