任意の値xについて

質問

関数の定義域について考えます。
この定義域の集合をMとします。
写像を図でイメージすると、集合は円状の空間をイメージし、その中に個々の数が書いてある図がイメージされますね。その定義域の集合Mの個々の要素から矢印が出ていて、値域の集合Nの個数の要素へと矢印が達している図がイメージされます。

この定義域なんですが、例えば0＜x＜6（ただし整数）とすると、要素は1、2、3、4、5の5個だけです。しかし、あらゆる参考書やサイトを見てみると、定義域内の任意の値としてのxも要素に含まれています。
つまり、上で言うなら6個になります。
でもやはり6個は明らかにおかしいので、xは定義域内の何かの値に重なっている（しかし、定義域内なら何でもよいし、瞬間ごとにxは重なる値を変える、つまり自由に動ける。）のでしょうか?
だから例えば、上の定義域で、ある瞬間では
1、2、x、4、5

別の瞬間では
1、2、3、4、x

というように動いていて、重なる値は何でもいいと考えました。
すると常に5個になります。
間違った考え方かもしれませんので、ご指摘お願いします。
まあ、定義域に制限がないときは、要素を書き出してもキリがないから、xが加わっても差し支えはありません。

また、下の写メにおいては、座標軸上の任意の点について考えてあります。
これは、明らかに任意の点Pは常に何かに重なっている（しかし何でもよい。自由に動ける。）と思います。なぜなら、Pは動けても、常に座標軸上のある点に存在しているのですから。

つまり、参考書やサイトにある、写像の定義域に含まれるx=xは何らかの値に重なっているのでしょうか?
それとも、例えば要素が5個なら、xを足して6個になるのでしょうか?
要素が無限個なら差し支えはありませんが。

また、例えば定義域の集合において、1、2、xだけが書かれていたら（本当はもっと要素はあるが、要素を適当に書き出した。）、xは1、2以外の何かになるのでしょうか?
もしxが1や2なら、集合内に同じ数が二つ含まれる事になり、おかしいですから。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

＞例えば
＞集合X={1、2、3}
＞のとき、
＞X={1、2、3、x}
＞とも書き表せるのですよね。
＞当然
＞X={1、2、x、3}
＞などと順番変わってもいい。

　これは駄目です。

　あなたが言うように、このxが1，2，3とは違うものだと「自分で決めて」、そう考えるのは構わないし、このような書き方を自分のノート内で行うぶんには、いっこうに構いませんが、このような公の場では「駄目だ」と言わざる得ません。

　じっさい自分も線形代数などで、直和の関係にある部分空間どうしを「勝手に」独立などと呼びますが、公の場では使いません。

　理由はこうです。集合は、そこに集めた要素から定義されます。集合Ｘが1，2，3から構成されるなら、Ｘ＝{1，2，3}以外ではあり得ず、Ｘ＝{1，2，3，x}と書いたなら、Ｘには実体を持つ要素としてxが含まれる事になります。しかしこのxは、Ｘの任意の値を仮にそう呼んだだけで、Ｘの中に実体を持つ訳ではないですよね？。

　このような場合、Ｘの中にxを含めないのが集合論の定式化なので、不可です。自分はこっちの方が自然に思えます。

＞だから、xは個数として捉えるのではなく、そこにどんな値も移動させて重ねられるという意味でxが書かれていると考えました。

　その通りです。その通りですが、それはあくまで、写像を説明するための「説明図」の中で慣習的に行われる事です。もう一回言いますが、これは、集合の定義として論理的におかしい事を知りながら、あえて行なわれる「方便」です。「説明図」の中にxが書かれているから、

＞X={1、2、3、x}となされている方が正確かなあと思いました。

などとと言い出だすと、たんなる「揚げ足取り」とみなされ兼ねないのが現実です。また、

＞つまり、X={1、2、3}のときxを導入して、X={1、2、x}のように最初から重なっているのではなく・・・

と書く方法も、集合論にはありません。X={1、2、x}と書いたら、1，2，xから構成される集合Ｘであり、Ｘ≠{1、2、3}です。

　次の書き方はあり得ます。

　　Ｘ＝{x|x＝1，2，3}

　上記の「気持ち」を図にしたのが、写像の「説明図」だと思います。

　もう一言あえて・・・。数学の理論構成は、論理的に一部の隙もないものだから、その文章や図の集まりもそうだと思っていらっしゃるのかも知れませんが、文章や図は、あくまで人間の書き物です。ふつうの文章や物語と同じように、文脈や常識で判断せざる得ない場合は多々あります。

　特に数学は、極端に言葉を切り詰める傾向があるので、文脈や常識で判断する必要は、自分はむしろ大きいと思っています。その際に基準になるのが、「定義」で、あくまで「定義に忠実に」読む事です。

お礼

回答ありがとうございました。
振り返ってみたのですが、自分の考えが完全に間違っていたんだと実感できます。

回答No.1

noname#221368

あなたの考えている通りですよ。

　写像の図の中に、1，2，3，4，5の他にxまで書き加えてしまう場合もあるのは、図をわかりやすくしようという意図のもとに行われる、慣習的な方便です。

　例えば、有限個であっても書ききれないほど沢山ある場合もありますから、その代表値をnと表す時は、

　　1，2，・・・，n，・・・，1000000

なんて書き方をします。nはxみたいなものです。有限個が数個であっても、上を流用して同じように書くのもしばしばです。あなたの言う例では、

　　f：x→y

とか、

　　y＝f(x)

と、図の後に書きたいがために、わざわざxを加えたのだと思います。

＞でもやはり6個は明らかにおかしいので、xは定義域内の何かの値に重なっている（しかし、定義域内なら何でもよいし、瞬間ごとにxは重なる値を変える、つまり自由に動ける。）のでしょうか?

　その通りです。これが「独立変数」の通り名の由来です。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。
自分は重なっていると主張し、そして重なっているという事で議論をしてもらいましたが、
例えば
集合X={1、2、3}
のとき、
X={1、2、3、x}
とも書き表せるのですよね。
当然
X={1、2、x、3}
などと順番変わってもいい。

代表値xを考えたら、要素は4個になったように思われるが、このxは要素の個数としては考えずに、そのxは1かもしれないし、2かもしれないし、3かもしれません。
つまり、1を移動してxに重ねることが出来て、2も3も同様です。
だから、xは個数として捉えるのではなく、そこにどんな値も移動させて重ねられるという意味でxが書かれていると考えました。

つまり、X={1、2、3}のときxを導入して、X={1、2、x}のように最初から重なっているのではなく、X={1、2、3、x}となされている方が正確かなあと思いました。
どちらでもいいかもしれませんが（結局は重ねることを想定しているんだし）どうでしょうか?