複素数の複素数乗の定義の仕方は?

質問

定義集を作っています。
集合や写像を定義してからN,Z,Q,R,Cの四則演算等や環や体を定義しました。
そして、e:=lim[t→0](1+t)^(1/t)をε-δで定義しました。
この後、累乗の定義をしようとしたのですが
後でいちいち定義の拡張をしなくていいように
複素数の複素数乗(z^w (z,w∈C))を一気に定義してしまおうと思っています。
先ずはz^wの定義は
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<arg(z)≦2π)
だと思いますが
logとargの定義をしてしまわねばなりません。
argは図を使わずに数式として定義は出来ないのでしょうか?
(図で定義するのなら先ず図とは何かを定義しなければなりませんよね)
そして、logはmap f:R→R;R∋∀x→f(x):=e^xの逆写像として定義されると思います。
然しながらここでe^xと累乗を使ってしまってます(累乗は未定義なのに)。
どうすればlogを累乗を避けて定義できますでしょうか?

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、

a ^ b = exp(b * log(a))

を使って定義するというのが自然ではないかなと思います。

exp(x) は、 1/(n!)x^n の無限和で定義できますし、log(x) はそれの逆関数としてしまっても良いかもしれません。

お礼

ご回答有難うございます。

> 一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、
> a ^ b = exp(b * log(a))
えっ?このような定義があったのですか。
つまり、z^w=exp(w*log(z))と定義されるのでしょうか?

するとこのlogはCを定義域とする写像になりますよね。
(それともこのlogはlog|z|を意味しているのでしょうか?)

回答No.4

proto

積分を使い
　　ln(x) = ∫[1→x]{1/t}dt
と定義することもできるようです。

お礼

遅くなりまして大変申し訳ありません。
お陰様で無事解決できました。

回答No.3

Tacosan

えっと....
普通は
z^w=exp(w*log(z))
で定義するんじゃないでしょうか. もちろん右辺の log z は C - { 0 } を定義域とする (無限多価) 関数です. そもそも,
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<Arg(z)≦2π)
の右辺にはどこにも w が現れていないですよ.
log については, exp の逆関数と定義するか
log (1 + z) = sum(i: 1→∞) (-1)^(i+1) z^i / i
と定義するか. この定義だと収束半径は 1 なので, |z - 1| ≧ 1 なる z については
log z = 1 + log (z / e)
としておくかな.

お礼

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回答No.2

yumisamisiidesu

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1280086.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1300140.html
が共通資源になると思います.

お礼

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