ベクトルの大きさの最小値

質問

|OA+xAB+yAC|^2=
14x^2+5y^2-8xy-8x-2y+3 となりました。
最終的に求めたいのはOA+xAB+yACの最小値です。
また、ベクトルをどう表記すればよいか分からなかったので補足します。
上記、OA,AB,ACは全てベクトルです。
またお手数ですが、経過があると嬉しいです。

回答No.5

rnakamra

OA,AB,ACがわかればスマートな解き方が普通はあるのですが(たとえばAB,ACが1次独立である場合、AH=xAB+yACとするとOH・AB=OH・AC=0となるとき|OC+xAB+yAC|=|OH|は最少となります)、ここではそれがないと仮定して解きます。

これは(xとyの式)^2+(yの式)^2+cの形に持っていけば、二つの()の中が同時に"0"になることができれば"c"が最小値となります。

まず、xについて平方完成してさせます。
14x^2+5y^2-8xy-8x-2y+3=14x^2-8xy-8x+5y^2-2y+3
=14x^2-8(y+1)x+5y^2-2y+3
=14{(x^2-(4/7)(y+1)x}+5y^2-2y+3
=14{x-(2/7)(y+1)}^2-(8/7)(y+1)^2+5y^2-2y+3
=14{x-(2/7)(y+1)}^2+(27/7)y^2-(30/7)y+13/7
=14{x-(2/7)(y+1)}^2+(27/7){y^2-(10/9)y}+13/7
=14{x-(2/7)(y+1)}^2+(27/7)(y-5/9)^2-25/21+13/7
=14{x-(2/7)(y+1)}^2+(27/7)(y-5/9)^2+2/3

x-(2/7)(y+1)=0,y-5/9=0 を解くとx=4/9,y=5/9となり、この時求める最小値は2/3となります。
念のためwolframalphaで確認をとりましたが正しいようです。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=14x%5E2%2B5y%5E2-8xy-8x-2y%2B3

回答No.4

Tacosan

ああそうそう, 今の場合 2変数 2次式の最小化だから, 「変数を含むたかだか 2個の平方」の項と定数項の和にすればいい.

#1/#2 のようなことをやるとたいていどこかで破綻する.

回答No.3

Tacosan

OA, AB, AC の成分は書けますか?

回答No.2

noname#224896

【訂正】
場合分けによる，最小値を見逃すところでした．
====================================================
|OA+xAB+yAC|^2=
14x^2+5y^2-8xy-8x-2y+3より，

14x^2+5y^2
-4x^2+4x^2-8xy-4x^2+4x^2-8x-2y+3
=10x^2+y^2 +4(x-y)^2 -8x-2y+3
=10x^2-8x +y^2-2y+4(x-y)^2+3
=2(5x-2)^2-8+(y-1)^2+4(x-y)^2+3
=2(5x-2)^2+(y-1)^2+4(x-y)^2-5
≧4(2/5-1)^2-5
（等号を満たすのは，x=2/5，y=1）
5x-2=0且つy-1=0またはx-y=0

（１）5x-2=0且つy-1=0の場合
4(2/5-1)^2-5
これの絶対値の平方根が求める値ですね．
√｛｜4(2/5-1)^2-5｜｝
＝√｜（３６／２５）-５｜
＝（√８９）／５

（２）x-y=0の場合，
　　すなわち，x=yの場合
|OA+xAB+yAC|^2=
14x^2+5y^2-8xy-8x-2y+3より，
|OA+xAB+yAC|^2=
14x^2+5x^2-8x*x-8x-2x+3
=(14+5-8)x^2 -10x +3
=11x^2 -10x +3
=(√１１ｘ－（５√１１）／１１）＾２－２５＊１１／１１＾２　＋３
＝(√１１ｘ－（５√１１）／１１）＾２＋（３３－２５）／１１
≧８／１１
等号成立は，ｘ＝５／１１
|OA+xAB+yAC|
＝√（８／１１）
＝２√２／√１１
＝（２√２２）／１１

（√８９）／５，と（２√２２）／１１との大小比較で，どちらが小さいかを求める必要がある．
（１１√８９）／５５，（１０√２２）／５５
１１√８９≒１１×９．８＝１０７．８
１０√２１＜１０√２２＜１０√２４
１０√２１
＝１０＊√３＊√７
＝１０＊１．７３＊２．６４
＝４５．６
１０√２４＝１０＊２√３＊√２
＝２０√２＊√３
＝２０＊１．４＊１．７
＝４７．６
４５．６／５５＜（１０√２２）／５５＜４７．６／５５
（√８９）／５≒１０７．８／５５
従って，（√８９）／５＞（２√２２）／１１

∴x=yの時であり，
ｘ＝ｙ＝５／１１のとき，OA+xAB+yACの最小値は，（２√２２）／１１　．．．（解答）
である．

====================================================
以上です．

回答No.1

noname#224896

ＯＡ＋ｘＡＢ＋ｙＡＣ
＝ＯＡ＋ｘＯＢ－ｘＯＡ＋ｙＯＣ－ｙＯＡ
＝（１－ｘ－ｙ）ＯＡ＋ｘＯＢ＋ｙＯＣ
ここまでしましたが，余り意味が無かった．
というより，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣのベクトル値が与えられていないので解きようがない．
まぁ，途中まで計算があるので，いいようですね．
====================================================
では，
|OA+xAB+yAC|^2=14x^2+5y^2-8xy-8x-2y+3
これの続きをしましょうか．

大したことではないんだけど，
一応解説
下の操作は，（？ｘ－？）＾２
（？ｙ－？）＾２
と二つを強引に作り出す為に，
無いものを足して，その分を引いて
帳尻を合わせています．

14x^2+5y^2
-4x^2+4x^2-8xy-4x^2+4x^2-8x-2y+3
=10x^2+y^2 +4(x-y)^2 -8x-2y+3
=10x^2-8x +y^2-2y+4(x-y)^2+3
=2(5x-2)^2-8+(y-1)^2+4(x-y)^2+3
=2(5x-2)^2+(y-1)^2+4(x-y)^2-5
≧4(2/5-1)^2-5
（等号を満たすのは，x=2/5，y=1）
5x-2=0，y-1=0，x-y=0
4(2/5-1)^2-5
これの絶対値の平方根が求める値ですね．
√｛｜4(2/5-1)^2-5｜｝
＝√｜（３６／２５）-５｜
＝（√８９）／５

∴x=2/5，y=1のとき，OA+xAB+yACの最小値は，（√８９）／５　．．．（解答）
である．