500枚 メジアン数学演習IIIA B の306番

質問

500枚 メジアン数学演習IIIA B の306番 空間ベクトルについて
困ってます。すぐ回答がほしいです。

｛空間内に３点 A（1,-1,1) B(-1,2,2) C(2,-1,-1)がある。このとき、ベクトルOA+xAB+yAC の大きさの最小値を求めよ｝

ヒントとして
ベクトルOA+xAB+yAC の２乗が ベクトルOA+xOB+yOC の2乗になるそうです。

ｘとｙについて平方完成するのは分かるのですが、どうしても答えが出ません。
どうかよろしくおねがいします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

OA↑+xAB↑+yAC↑=(1,-1,1)+x(-1-1,2-(-1),2-1)+y(2-1,-1-(-1),-1-1)
=(1-2x+y,-1+3x,1+x-2y)
|OA↑+xAB↑+yAC↑|^2=(1-2x+y,-1+3x,1+x-2y)・(1-2x+y,-1+3x,1+x-2y)
=(1-2x+y)^2+(-1+3x)^2+(1+x-2y)^2
=5y^2-8xy-2y+14x^2-8x+3
=(1/5){(4x-5y+1)^2-16x^2-8x-1)}+14x^2-8x+3
=(1/5){(4x-5y+1)^2+(2/5)(27x^2-24x)+(14/5)
=(1/5)(4x-5y+1)^2+(2/15)(9x-4)^2+(2/3)
≧2/3（最小値=2/3）
(等号は 4x-5y+1=9x-4=0のとき成立)

x=4/9, y=5/9のとき最小値=2/3をとる。

お礼

本当に助かりました。
ありがとうございます！

あと、もし時間が許すのなら、メジアン43番の問題も解いていただけるとありがたいです（＾＾