ベクトルについての質問です(かなり初歩的ですが…)

質問

ベクトルについての質問です(かなり初歩的ですが…)

平面上に平行四辺形OACBがあるとき、ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBであらわします
s,tが関係5s+2t=3を満たしながら変わる時、Pはある定直線上を動く。その直線と2辺OA,BCとの交点をそれぞれA',B'とする。
(s,t)=(0,3/2),(3/5,0)とおくと図(ここでは表せませんが)のようになるので相似比3:1を考えれば二交点はでるとあるのですがOB'ベクトル=bベクトル+1/5OAベクトル の中のOAベクトルの算出方法がいまいちわかりません
できれば図も用いていただけるとありがたいです、よろしくお願いします。
(別解としてtをsで表し、 係数比較の方法もありましたが、それはなしの方向でよろしくお願いします。)

また最小値の問題なのですが
p=x^2+xy+y^2 (x,yは任意の実数) のときの最小値mを求めよ
という問題で
p=(x-y/2)^2 + 3y^2/4≧0+0=0
というような式があったのですがこれはどういう意味なのでしょうか？
教えてください

※iPhoneから送信しているので誤字、脱字が多々あります。もしそのようなものがありましたら、お知らせください。

回答No.9

178-tall · ベストアンサー

ついに越年か ～ 。
　　↓
>その直線と2辺OA,BCとの交点をそれぞれA',B'とする。

(平行四辺形 OACB がペタンコでなけりゃ、以下の {A, B} 係数は一意的…)

OA との交点 A' は？
　P = sA+tB = (1-k)(3/5)A + k(3/2)B　　…(1)
にて B 成分 = 0 (k=0) とした P=(3/5)A + 0 。

BC との交点 B' は？
(1) にて、B 成分 = 1 (k=2/3) とした
P = (1-k)(3/5)A + B = (1/5)A + B 。

回答No.8

178-tall

>ここから標準形にするほうがわかり易いのかも…。
>　P = sA+tB = (1 - k)(3/5)A + k(3/2)B

通りがかりにチラリと覗き込んだセンセイいわく、
　「それ、アフィン結合っていうんだゼ」

調べてみると、そうらしい。

回答No.7

178-tall

>特定条件 5s+2t=3 から s=(3-2t)/5 の関係を得て、
>　P = sA+tB = (1 - 2t/3)(3/5)A + 2t/3(3/2)B
>これは、P が (3/5)A と (3/2)B を通ることを示している。

「標準形？」の線形結合への整形を急ぎすぎ、かえってわかり難かったカナ？

P = sA+tB = { (3-2t)/5}A + tB なので、
　t=0 → P = (3/5)A
　(3-2t)/5=0, つまり t=3/2 → P = (3/2)B
だろう。
これから、P が (3/5)A と (3/2)B を通るとわかる。

ここから標準形にするほうがわかり易いのかも…。
　P = sA+tB = (1 - k)(3/5)A + k(3/2)B

回答No.6

178-tall

勘定ミス、訂正のつもり。

　　　　　　　　↓

特定条件 5s+2t=3 から s=(3-2t)/5 の関係を得て、
　P = sA+tB = (1 - 2t/3)(3/5)A + 2t/3(3/2)B
これは、P が (3/5)A と (3/2)B を通ることを示している。

回答No.5

178-tall

>また最小値の問題なのですが
>p=x^2+xy+y^2 (x,yは任意の実数) のときの最小値mを求めよ
>という問題で
>p=(x-y/2)^2 + 3y^2/4≧0+0=0
>というような式があったのですがこれはどういう意味なのでしょうか？

x^2+xy+y^2 を二乗項の和 (x-y/2)^2 + 3y^2/4 に分解。
各二乗項は、非負で最小値が零。
なので、≧0+0=0

…と解読。

回答No.4

178-tall

蛇足の感想。

>(別解としてtをsで表し、係数比較の方法もありましたが、それはなしの方向で　…

「係数比較」は「ベクトル幾何」の有力武器の一つです。

それを禁じ手にするのなら、ふつうの「図形幾何」へ戻って考えなおすべき。

回答No.3

178-tall

>平面上に平行四辺形OACBがあるとき、ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBであらわします　s,tが関係5s+2t=3を満たしながら変わる時、Pはある定直線上を動く。
>その直線と2辺OA,BCとの交点をそれぞれA',B'とする。
------------------------
ベクトル配置の記述が、何やらややこしい。

まず記法を簡略化。
(凡例)
・始点が O、終点が A のベクトル OA を A と略記。
・始点が C、終点が D のベクトルを CD と略記。
　　CD = D-C 、つまり C を足すと D であるベクトル。

よく使われる形式として、P を mA, nB の線形結合として表示してみる。
　P = mA + k(nB-mA) = (1-k)(mA) + k(nB)
　　=sA+tB
この P は mA と nB を通る。

特定条件 5s+2t=3 から s=(3-2t)/5 の関係を得て、
　P = sA+tB = (1-2t)(3/5)A + 2t(1/2)B
これは、P が (3/5)A と (1/2)B を通ることを示している。

何やら怪しげ。
初っ端はこのあたりか…。

回答No.2

yyssaa

平面上に平行四辺形OACBがあるとき、ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBであらわします
s,tが関係5s+2t=3を満たしながら変わる時、Pはある定直線上を動く。その直線と2辺OA,BCとの交点をそれぞれA',B'とする。
(s,t)=(0,3/2),(3/5,0)とおくと図(ここでは表せませんが)のようになるので相似比3:1を考えれば二交点はでるとあるのですが
OB'ベクトル=bベクトル+1/5OAベクトル の中のOAベクトルの算出方法がいまいちわかりません
できれば図も用いていただけるとありがたいです、よろしくお願いします。
＞ベクトルを↑で表します。
(s,t)=(3/5,0)のときは↑OP=(3/5)↑OAから点Pは辺OA上の点A'
(OA'=OA*3/5)にあり、(s,t)=(0,3/2)のときは↑OP=(3/2)↑OB
から点Pは辺OBの延長線上の点(この点をB"、OB"=OB*3/2とする)
にある。
t=3/2-(5/2)sから↑OP=s{↑OA-(5/2)↑OB}+(3/2)↑OBだから、
点Pはs=0のときの位置B"から一定のベクトル{↑OA-(5/2)↑OB}
のs倍だけはなれた点となるので、sの変化によるPの軌跡は直線
になり、この直線は上で見たようにs=3/5のときに点A'で辺OAと
交わり、sが3/5より小さいときに辺BCと点B'で交わる。
OA'//BB'だから△OA'B"∽△BB'B"であり、OB"=OB*3/2から
OB"/BB"=3/1で相似比3:1となるので、BB'=(1/3)OA'となり、
↑OB'=↑OB+↑BB'=↑OB+(1/3)↑OA'=↑OB+(1/3)(3/5)↑OA
=↑OB+(1/5)↑OAとなる。
また最小値の問題なのですが
p=x^2+xy+y^2 (x,yは任意の実数) のときの最小値mを求めよ
という問題でp=(x-y/2)^2 + 3y^2/4≧0+0=0
というような式があったのですがこれはどういう意味なのでしょうか？
教えてください
＞p=x^2+xy+y^2ならp=(x+y/2)^2+3y^2/4≧0+0=0
(x+y/2)^2≧0かつ3y^2/4≧0という意味、だからm=0。

回答No.1

gohtraw

参考書か何かを見ているようですが、
そこに何が書かれていて、どこが判らないのかきちんと書かないと回答つきませんよ。
OB'ベクトル=bベクトル+1/5OAベクトル 　？？ｂベクトルって何ですか？相似比３：１　？何と何が？

OAベクトルの算出？これは算出するものではなく
問題の前提として与えられているものですから、一般性を失わない限りにおいて任意に決めればいいだけのこと
です。したがって点Oをｘｙ座標の原点におき、点Aをｘ軸上においてその座標を（ａ、０）、点Ｂの座標を（ｂｘ、ｂｙ）と
します。するとＯＰ（ベクトル記号は省略します）を（ｐｘ、ｐｙ）とすると
ｐｘ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｂｘ
ｐｙ＝ｔ・ｂｙ
が成り立ちます。これらをｓおよびｔについて解くと
ｔ＝ｐｙ／ｂｙ
ｓ＝（ｐｘ－ｐｙ・ｂｘ／ｂｙ）／ａ
となるので、これを　5s+2t=3　に代入すれば
５・（ｐｘ－ｐｙ・ｂｘ／ｂｙ）／ａ＋２・ｐｙ／ｂｘ＝３
これをｐｙ＝　という形に整理すれば点Ｐがどのような直線上にあるか判ります。

二問目は、方針として二乗の和の形にしたいということです。そこで
ｐ＝ｘ＾２＋ｘｙ＋ｙ＾２／４＋３ｙ＾２／４
という具合に分けると　ｘ＾２＋ｘｙ＋ｙ＾２／４＝（ｘ＋ｙ／２）＾２なので
ｐ＝（ｘ＋ｙ／２）＾２＋３ｙ＾２／４
となります。