ベクトルの問題

質問

平面上に三角形OABがあり、OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとおくとき、｜aベクトル｜=2,｜bベクトル｜=1,aベクトル・bベクトル=1/2である。
辺ABの3等分点のうち、Aに近い方をC,Bに近い方をDとし、2点P,QをOPベクトル=xOCベクトル,OQベクトル=ｙODベクトル(x>0,y>0)によって定める。
(1)OCベクトル,ODベクトルをaベクトル,bベクトルでそれぞれ表せ。
(2)三角形OPQの重心Gが辺AB上にあるとき、yをxで表せ。
(3)(2)のとき、線分PQの長さを最小とするx,yの値を求めよ。

(1)と(2)は解くことが出来ましたが、(3)が解くことが出来ません。
どなたかお願いします。
(1)はOCベクトル=2aベクトル+bベクトル/3　ODベクトル=aベクトル+2bベクトル/3
(2)はy=3-xです

(3)
PQベクトル=aベクトル/3(y-2x)+bベクトル/3(2y-x)
y=3-xを代入すると
PQベクトル=aベクトル(-x+1)+bベクトル(-x+2)となり
|PQベクトル|^2=|aベクトル(-x+1)+bベクトル(-x+2)|^2
|PQベクトル|^2=7x^2-15x+10となります。
私の計算ミスかもしれませんがこの後はどうしたらいいのでしょうか？

回答No.1

noname#75273 · ベストアンサー

|PQベクトル|^2=7x^2-15x+10　とすると、
⇒　平方完成（２次関数）、また、x の範囲は、y = 3 - x , y > 0 , x > 0 ⇒ 0 < x < 3
⇒　|PQベクトル|^2　の最小値を求めます。（そのときの x は、x = 15 / 14）
⇒　|PQベクトル|^2　の最小値を K とすると、線分PQの長さは最小値 = √K となります。
（K は自分で計算してください。）

お礼

ありがとうございました。
もう一度計算したら計算間違っていました・・・