二次方程式 定数mの範囲

質問

x²＋2mx＋m＋2＝0が異なる2つの正の解を持つとき、
定数mの範囲は？という問題で、

答えにはmの範囲が－2＜m＜－1とあり、
これは分かりますが、何故2＜mは含まれないのですか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

こんな問題で、解の公式から方程式を解いてmの範囲を求めると言うのは、愚かな方法。

条件を満たすには、判別式＝(m-2)*(m+1)＞0、and、2解の和＝-2m＞0、and、2解の積＝m＋2＞0　が条件になる。
その3つの不等式を満たすmの“共通範囲”を求めると、答えのようになる。
数直線を書くと分かるだろうが、こんな事は基本だよ。

お礼

こんな事は基本だよ

回答No.1

DJ-Potato

ax^2 + bx + c = 0　が異なる２つの実数解を持つ時、
b^2 - 4ac > 0　が成り立ちます。

この場合、a = 1, b = 2m, c = m + 2
4m^2 - 4m - 8 > 0
m^2 - m - 2 > 0
(m + 1)(m - 2) > 0
{ m + 1 > 0 かつ m - 2 > 0 }　または　{ m + 1 < 0 かつ m - 2 < 0 }
m > 2 または m < -1　…(1)

そして異なる２つの"正"の解なので、
x = -b' ± √(b'^2 - c) の小さい方、-b' - √(b'^2 - c) > 0
-m - √(m^2 - m - 2) > 0
-m > √(m^2 - m - 2)　　　右辺≧0　より　-m>0　⇔　m<0
m^2 > m^2 - m - 2
m > -2　　…(2)

(1)(2)より、-2 < m < -1

お礼

ありがとうございます。