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数Ｉの２次方程式で分からないところがあります＞＜
x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。 という問題と、 3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を１つずつもつような定数kの値の範囲を求めよ。 という問題が全く分からず困っていますorz 答えではなく解き方だけでいいので、どなたか親切な方おねがいします＞＜ 判別式を使うのかな・・？と思いましたが、 問題を良く見ると「正」やら「負」やら指定されてますorz こういう場合ってどうすればよいのでしょうか？？
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質問文の性質にもよりますが、今回は質問者様の回答履歴／質問履歴の調査の必要性を感じました。時として思わぬ収穫がありました。 回答履歴楽しく読ませて頂きました。 アスキーアート (>_<)、＿|￣|○ が判明しました。 高１では習わないはずの（＞＞解と係数の関係を・・・）を知っている理由も判明しました。・・・肝心の問題はまだ解いていません。 本問題は＜解の分離＞と呼ばれる、高校生には不可避の問題です。 ２つの解法が存在します。 ＃１ グラフ利用。 ＃２ 完全に論理的思考による解法。 （解と係数の関係については判然とはしませんが、＃２かとも） この＜解の分離＞についての感想ですが、何度解いても計算ミスをします。 本問題については＜標準的＞と予想しています。 もっと複雑のもあります。 ＃２では対応しかねます。余程明晰でないと大変そうです。 一番書きたかったのは、 ＜解の分離＞は解答後 ＜清涼感＞がありません。 （複雑であればあるほど）ただ解答しただけ・・・、 極めて後味が悪いです。 問題の背景が不明です。 これだけ題意不明の問題は他には見かけません。 この辺りの真相は貴殿の学校の先生は知っているかもしれません。 以上が本論ですが。幾らなんでも・・・ ーーー ご存知の ＃１００ 判別式 （頂点のｙ座標） ＃２００ 軸 ＃３００ ｆ（ｘ）になにかを代入 を使います。 全部使うかどうかの判断は訓練しかありません。 グラフを書かないと意味不明です。 （１）ｆ（Ｘ）＝x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を・・・ ＃１００ （Ｋ－１）＾２＋４（２Ｋ＋６）＞０ Ｋ＾２－２Ｋ＋１＋８Ｋ＋２４＞０ Ｋ＾２＋６Ｋ＋２５＞０ 結果的には、絶対不等式で不要。 ＃２００ －（Ｋ－１）／２＞０、即 Ｋ＜１ ＃３００ ｆ（０）＞０ ー２Ｋ－６＞０、即 Ｋ＜－３ 連立不等式Ｋ＜１、Ｋ＜－３ より 解は Ｋ＜－３ ーーー （２）ｆ（Ｘ）＝3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を・・・ ＃３００ のみで充分です。ｆ（０）＜０ １２－Ｋ＾２＜０ Ｋ＾２＜（２√３）＾２ 解は Ｋ＜ー２√３、２√３＜Ｋ ーーー 余計な解答を書いてしまいました。 やはり、爽快感はありません。 解いただけでした。 頑張って下さい。 ーーー
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- y_akkie
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解と係数の関係において、まず注意しておきたいのが、 「α > 0かつβ > 0ならば、αβ > 0 かつ α + β > 0である」は 成立します。だが、厳密には逆に、「αβ > 0 かつ α + β > 0 ならば、 α > 0 かつ β > 0である」が成立するのかを確認する必要があると思います。 ここで、αβ > 0 から、「α > 0 かつ β > 0」、「α < 0 かつ β < 0」 の２つの可能性があります。しかし、後者の方では、α + β < 0になり、前提条件に反するので、前者の場合しか存在しない事が分かります。 よって、上記の命題は成立する事になります。 次に、もう一つ注意したいのは、上記の命題に対しては、α、βが存在する という前提のもとでの命題であることに注意をして下さい。 そこで、α、βが存在するための必要十分条件として知られているのが、 判別式に当たります。 （ただし、２解が異なる事にも注意をしなければなりません） ちなみに、こうした種の問題で一番恐いのは、条件の考慮漏れです。
「解と係数の関係」をご存じでしたら、 以下のような考え方も出来ます。 ２次方程式 ｘ＾２－ａｘ＋ｂ＝０の２つの解をα、β としたら １：どちらも正ならば αβ＞０、α＋β＞０です。そこで、 α＋β＝ａ、αβ＝ｂ より、ａ＞０、ｂ＞０ という範囲が得られます。 ２：正と負の解ならばαβ＜０です。ですから、ｂ＜０が得られる。 もちろん判別式Ｄ＞０も忘れてはいけないですが。 というような方法で考えてみてください。
- postro
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この類の問題は、グラフをイメージして考えることが大切です。 ＞x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。 は、y=x^2+(k-1)x-2k-6 のグラフが、 x軸の正の部分で２か所で交わっていればいいわけだから、 判別式が正で、軸が原点より右側にあり、x=0のときのyの値が正。ならば良さそう。 ＞3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を１つずつもつような定数kの値の範囲を求めよ。 は、x=0のときのyの値が負。ならば良さそう。 などと考えます。
お礼
回答ありがとうございます(´∀｀) ＞この類の問題は、グラフをイメージして考えることが大切です。 本当にありがとうございます。 グラフを書くことでこんなに分かりやすくなるなんて・・。 本当に感謝です・・。凄く良くわかりました。
- amber_jade
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グラフを書くとわかりやすいと思いますが、 上の問題 正の解を二つ持つので f(0)>0 軸>0 D<0 これを解いて共通範囲を求めるのだと思います。 下の問題は正の解と負の解が１つずつなので f(0)<0 D<0 に条件を直せばよかったと思います。
お礼
回答ありがとうございます＞＜ 上の問題、良く見たら教科書にやり方載ってました＞＜ スミマセン なるほど・・こういう風にやるんですね。スッキリしました＼(^o^)／ 下の問題、分かりやすい解説ありがとうございました！ お陰で無事に正解しました。ありがとうございます！
- kino009
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式≧０ のかたちにして、 （ ）×（ ）≧０ で、解いて Ｋを求めるのでは？
お礼
回答ありがとうございます^^ ＞式≧０ ＞のかたちにして、 それだと、xに共有点を持たないグラフ、 もしくはxと１点しか共有しないグラフになってしまいそうな気がするのですが・・(；´∀｀)
お礼
回答ありがとうございます^^ ＞「解と係数の関係」をご存じでしたら、以下のような考え方も出来ます。 そういえば、先生が「明日は解と係数の関係を使って解いてみるぞー」って言ってました^^; 解と係数の関係は習ってますね。コレ考えた人スゴイと思います。 最初習ったとき、ビックリしました^^; なるほど・・！解と係数の関係を利用してこんなことも出来るんですね・・。 目からウロコとはまさにこのことです・・。ありがとうございます！