数Ｉの２次方程式で分からないところがあります＞＜

質問

x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。

という問題と、

3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を１つずつもつような定数kの値の範囲を求めよ。

という問題が全く分からず困っていますorz

答えではなく解き方だけでいいので、どなたか親切な方おねがいします＞＜

判別式を使うのかな・・？と思いましたが、
問題を良く見ると「正」やら「負」やら指定されてますorz
こういう場合ってどうすればよいのでしょうか？？

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

質問文の性質にもよりますが、今回は質問者様の回答履歴／質問履歴の調査の必要性を感じました。時として思わぬ収穫がありました。
回答履歴楽しく読ませて頂きました。
アスキーアート　(>_<)、＿|￣|○　が判明しました。
高１では習わないはずの（＞＞解と係数の関係を・・・）を知っている理由も判明しました。・・・肝心の問題はまだ解いていません。

本問題は＜解の分離＞と呼ばれる、高校生には不可避の問題です。

２つの解法が存在します。

＃１　　グラフ利用。
＃２　　完全に論理的思考による解法。

（解と係数の関係については判然とはしませんが、＃２かとも）

この＜解の分離＞についての感想ですが、何度解いても計算ミスをします。
本問題については＜標準的＞と予想しています。

もっと複雑のもあります。　＃２では対応しかねます。余程明晰でないと大変そうです。

一番書きたかったのは、
＜解の分離＞は解答後
＜清涼感＞がありません。
（複雑であればあるほど）ただ解答しただけ・・・、
極めて後味が悪いです。
問題の背景が不明です。
これだけ題意不明の問題は他には見かけません。
この辺りの真相は貴殿の学校の先生は知っているかもしれません。

以上が本論ですが。幾らなんでも・・・
ーーー
ご存知の

＃１００　　判別式　（頂点のｙ座標）　　
＃２００　　軸
＃３００　　ｆ（ｘ）になにかを代入

を使います。
全部使うかどうかの判断は訓練しかありません。
グラフを書かないと意味不明です。

（１）ｆ（Ｘ）＝x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を・・・

＃１００　（Ｋ－１）＾２＋４（２Ｋ＋６）＞０
Ｋ＾２－２Ｋ＋１＋８Ｋ＋２４＞０
Ｋ＾２＋６Ｋ＋２５＞０　結果的には、絶対不等式で不要。

＃２００　－（Ｋ－１）／２＞０、即　Ｋ＜１　
＃３００　ｆ（０）＞０
ー２Ｋ－６＞０、即　Ｋ＜－３

連立不等式Ｋ＜１、Ｋ＜－３　より　解は　Ｋ＜－３
ーーー

（２）ｆ（Ｘ）＝3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を・・・

＃３００　のみで充分です。ｆ（０）＜０
１２－Ｋ＾２＜０
Ｋ＾２＜（２√３）＾２
解は　Ｋ＜ー２√３、２√３＜Ｋ
ーーー
余計な解答を書いてしまいました。
やはり、爽快感はありません。
解いただけでした。

頑張って下さい。
ーーー

回答No.6

y_akkie

解と係数の関係において、まず注意しておきたいのが、

「α > 0かつβ　> 0ならば、αβ > 0 かつ α + β > 0である」は
成立します。だが、厳密には逆に、「αβ > 0 かつ　α + β > 0 ならば、
α > 0 かつ β > 0である」が成立するのかを確認する必要があると思います。
ここで、αβ > 0 から、「α > 0 かつ　β > 0」、「α < 0 かつ β < 0」
の２つの可能性があります。しかし、後者の方では、α + β < 0になり、前提条件に反するので、前者の場合しか存在しない事が分かります。
よって、上記の命題は成立する事になります。
次に、もう一つ注意したいのは、上記の命題に対しては、α、βが存在する
という前提のもとでの命題であることに注意をして下さい。
そこで、α、βが存在するための必要十分条件として知られているのが、
判別式に当たります。
（ただし、２解が異なる事にも注意をしなければなりません）

ちなみに、こうした種の問題で一番恐いのは、条件の考慮漏れです。

回答No.4

noname#40706

「解と係数の関係」をご存じでしたら、
以下のような考え方も出来ます。

２次方程式

ｘ＾２－ａｘ＋ｂ＝０の２つの解をα、β　としたら

１：どちらも正ならば　αβ＞０、α＋β＞０です。そこで、

α＋β＝ａ、αβ＝ｂ　より、ａ＞０、ｂ＞０
という範囲が得られます。

２：正と負の解ならばαβ＜０です。ですから、ｂ＜０が得られる。

もちろん判別式Ｄ＞０も忘れてはいけないですが。

というような方法で考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございます^^

＞「解と係数の関係」をご存じでしたら、以下のような考え方も出来ます。
そういえば、先生が「明日は解と係数の関係を使って解いてみるぞー」って言ってました^^;
解と係数の関係は習ってますね。コレ考えた人スゴイと思います。
最初習ったとき、ビックリしました^^;

なるほど・・！解と係数の関係を利用してこんなことも出来るんですね・・。
目からウロコとはまさにこのことです・・。ありがとうございます！

回答No.3

postro

この類の問題は、グラフをイメージして考えることが大切です。
＞x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる２つの正の解を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。
は、y=x^2+(k-1)x-2k-6 のグラフが、
x軸の正の部分で２か所で交わっていればいいわけだから、
判別式が正で、軸が原点より右側にあり、x=0のときのyの値が正。ならば良さそう。

＞3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を１つずつもつような定数kの値の範囲を求めよ。
は、x=0のときのyの値が負。ならば良さそう。

などと考えます。

お礼

回答ありがとうございます(´∀｀)

＞この類の問題は、グラフをイメージして考えることが大切です。
本当にありがとうございます。
グラフを書くことでこんなに分かりやすくなるなんて・・。
本当に感謝です・・。凄く良くわかりました。

回答No.2

amber_jade

グラフを書くとわかりやすいと思いますが、
上の問題
正の解を二つ持つので
f(0)>0
軸>0
D<0
これを解いて共通範囲を求めるのだと思います。
下の問題は正の解と負の解が１つずつなので
f(0)<0
D<0
に条件を直せばよかったと思います。

お礼

回答ありがとうございます＞＜

上の問題、良く見たら教科書にやり方載ってました＞＜　スミマセン
なるほど・・こういう風にやるんですね。スッキリしました＼(^o^)／

下の問題、分かりやすい解説ありがとうございました！
お陰で無事に正解しました。ありがとうございます！

回答No.1

kino009

式≧０
のかたちにして、
（　）×（　）≧０
で、解いて
Ｋを求めるのでは？

お礼

回答ありがとうございます^^

＞式≧０
＞のかたちにして、
それだと、xに共有点を持たないグラフ、
もしくはxと１点しか共有しないグラフになってしまいそうな気がするのですが・・(；´∀｀)