正の定数ηに対して、3次方程式

質問

正の定数ηに対して、3次方程式
x^3 -3x +η=0
が相異なる3つの実数解α、β、γ(ただしγ＞β＞αとする)をもつとき、η、|α|、|β| 、|γ|の大小を調べよ

解き方を教えてください

回答No.1

staratras · ベストアンサー

問題文に正の定数ηとあるので、η>0の場合だけ考えます。

x^3 -3x +η=0　…（１）
(1)を　-x^3+3x=η と変形し

y=-x^3+3x …(2)のグラフと
y=η　　　　…(3)のグラフの交点を考える。

y=0 を解くと、x=±√３,0 だから(2)はx軸と　(-√3,0),(0,0),(√3,0)の3点で交わる。

(2)より　y’=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)　であり
y'=0を解くと、x=±１だから、増減を考えると、x=-1のとき極小値-2を、x=1のとき極大値2をとる。

方程式(1)の3つの実数解は(2)と(3)のグラフの交点のx座標で与えられる。
グラフから明らかに　α<0,0<β<γ　である。
また(2)のグラフが原点に対して対称なグラフであることを考慮し、(2)のグラフ上でx=αを満たす点と原点に対して対称な点（x=-αを満たす点）α'を考えると明らかにy<0である。これはγ<-αであることを意味する　したがって｜β｜<｜γ｜<｜α|

ここでηとβ、γの大小関係を考えると、グラフの交点がy=xのグラフより、上(左側）であればηの方が大きく、下(右側）であればηの方が小さく、y=x上であれば両者は等しい。

ここでβは(2)が極大値となるグラフ上の点(1，2)より常に左側にあるので常にβ<ηである。
(2)とy=xのグラフのxが正の交点を求めるとx=-x^3+3x よりx=√2　であるので、γとηの大小関係は
xが0<x<√2の範囲で交わるとき　つまり0<η<√２のとき　η<γ
x=√2　のとき　つまりη=√２のとき　η=γ
xが√2<x<√3の範囲で交わるとき　つまり√2<η<２のときη>γ

さらに|α|とηの大小関係はグラフの交点がy=-xのグラフより、下(左側）であれば常に|α|>ηとなるが、(2)とy=-xのグラフのxが負の交点を求めるとちょうど(-2,2)という点になるので常に|α|>ηが成り立つ

答え　0<η<√２のとき｜β｜<η<｜γ｜<｜α|
　　　　η=√２のとき｜β｜<｜γ｜=η<｜α|
　　　√2<η<２のとき｜β｜<|γ｜<η<｜α|

補足

グラフの交点がy=xのグラフより

y=xはどこから出てきたんですか？

回答No.6

staratras

No.1&5です。

>ここでβは(2)が極大値となるグラフ上の点(1，2)より常に左側にあるので常にβ<ηである。とありますがこれは何故ですか？
βが0.9でηが0.1だったら成り立たないと思います

これは、その直前の「グラフの交点がy=xのグラフより、上(左側）であればηの方が大きく、下(右側）であればηの方が小さく、y=x上であれば両者は等しい。」ことと合わせて考えてください。グラフを見れば明らかですが、(２)は少なくとも極大値となる点(1,2)まで0<x<1の範囲では常にy=xのグラフより上にあるので、βの値を得る交点は常にy=xのグラフより、上(左側）にあります。したがって常にβ<ηです。

（なお|α|とηとの大小関係は、同様にαの値を得る交点と直線y=-xとの位置関係を考えることで常に|α|>ηであることがわかります。）

そこで、ηの値次第でηとの大小関係が変わる可能性があるのはγだと考えて、この点を検証しています。

問題の３次方程式の3つの解α,β,γはηの値と関係があります。η=0.1かつβ=0.9の組み合わせはあり得ません。

補足

分かりました
＞ここでηとβ、γの大小関係を考えると、グラフの交点がy=xのグラフより、上(左側）であればηの方が大きく、下(右側）であればηの方が小さく、y=x上であれば両者は等しい。

とあり、ANo.5の図を見ると、√2あたりから2までγはy=xより右側にあるように見えますが、ANo.1では
＞(2)とy=xのグラフのxが正の交点を求めるとx=-x^3+3x よりx=√2　であるので、γとηの大小関係は
xが0<x<√2の範囲で交わるとき　つまり0<η<√２のとき　η<γ
x=√2　のとき　つまりη=√２のとき　η=γ
xが√2<x<√3の範囲で交わるとき　つまり√2<η<２のときη>γ
とあります
√2<η<２のとき、γはy=xの右側にあるのでηの方が小さい、つまりγ>ηになりませんか？

回答No.5

staratras

No.1です。補足にお答えします。

>y=xはどこから出てきたんですか？

添付したグラフで、ηとβ、γとの大小を比較したいのですが、ηはy座標、β、γはx座標なので、そのままではうまく比べられません。

そこで直線ｙ＝ηの上でｘ座標がηとなる点η’(η,η)を考えると、β、γとの大小の比較が容易にできます。このη’という点はもちろん直線y=xの上にあります。

そこで「グラフの交点がy=xのグラフより、上(左側）であればηの方が大きく、下(右側）であればηの方が小さく、y=x上であれば両者は等しい。」ことになります。

補足

なんとなく分かりました
ANo1で
ここでβは(2)が極大値となるグラフ上の点(1，2)より常に左側にあるので常にβ<ηである。
とありますがこれは何故ですか？
βが0.9でηが0.1だったら成り立たないと思います

回答No.4

noname#199771

#3です。補足をいただいた件。

＞何故分かるのですか？

(1)「0<η<√2のときf(η)<0」からなにがわかるか。

f(x)<0となるのはxがx<αまたはβ<x<γを満たすときに限られます。

ηは正数ですから「x<α」は条件に合わず（α<0ですから）
β<η<γにならなければなりません。

(2)「η=√2のときf(η)=0」からなにがわかるか。

1より大きい解はγしかありません。
ηが解ならばη=γにならなければなりません。

(3)「√2<η<2のときf(η)>0」からなにがわかるか。

f(x)>0となるのはxがα<x<βまたはx>γを満たすときに限られます。
ηは1より大きいので「α<x<β」は条件に合わず（β<1ですから）
η>γでなければなりません。

お礼

ようやく分かりました
ありがとうございました

回答No.3

noname#199771

f(x)=x^3-3x+ηと置きます。

まず、fの増減を調べて、極大値>0、極小値<0、および
αとγがηについて減少、βはηについて増加だから
0<η<2
α<-1<β<1<γ<-α
がわかります。　　　・・・・・・・・・・・・（★）

f(η)=η(η+√2)(η-√2)なので、
0<η<√2のときf(η)<0
η=√2のときf(η)=0
√2<η<2のときf(η)>0
です。

ここからただちに
0<η<√2のときβ<η<γ
η=√2のとき0<β<η=γ
√2<η<2のとき0<β<γ<η
がわかります。　　　・・・・・・・・・・・・・（☆）

（★）（☆）を組み合わせて、
0<η<√2のときα<0<β<η<γ<-α、即ち|β|<1<η<|γ|<|α|
η=√2のとき0<β<η=γ<-α、即ち|β|<η=|γ|<|α|
√2<η<2のとき0<β<γ<η<-α、即ち|β|<|γ|<η<|α|
が得られます。

補足

0<η<√2のときf(η)<0
η=√2のときf(η)=0
√2<η<2のときf(η)>0
です。
ここからただちに
0<η<√2のときβ<η<γ
η=√2のとき0<β<η=γ
√2<η<2のとき0<β<γ<η
がわかります

何故分かるのですか？

回答No.2

htjfusion

三次方程式の三つの解がαβγだから
(x-α)(x-β)(x-γ)=0
ここから、解と係数の関係は
-αβγ=η
-(α+β+γ)=0
αβ+βγ+γα=-3

あとは連立がんばってください

補足

ありがとうございます
しかしとてつもない式になってしまい解けないのですが