フーリエ変換の指数の符号

質問

先日うけた二つの授業でフーリエ変換のexpの肩の符号が違いました。逆変換はそれぞれ符号が変わります。

F(k)=∫f(x)exp(-ikx)dx
F(k)=∫f(x)exp(ikx)dx

これらの違いは何なのでしょうか。
kの取り方によって変わるということでしょうか。それとも本質的に何か裏があるのでしょうか。

計算時に楽だったりうまくいくほうを選ぶのかなと解釈しているのですが。

回答No.2

wata717 · ベストアンサー

#1の回答者の通りでよいと思いますが，多少補足します．数学的には一方をフーリエ変換，他方をフーリエ逆変換と呼びます．実体を扱う物理学ではF(k)をk運動量空間，f(x)をx座標空間と呼び，或いはF(k)を逆空間，f(x)を実空間と呼びます．そしてF(k)の世界とf(x)の世界を頻繁に往復することが実際には必要になるのです．ここで最重要なことは質問者は指数関数の肩の位相因子をikxとしましたが，2πikxとツーパイを付加する場合もあり分野で慣習が異なりますが混合は許されません．結論からいえば後者の方が簡単でそのまま逆変換できます．しかしツーパイを省略すると，逆変換の際に積分する前に定数1/2πを付けたり，平方根にしたりと慎重な注意が必要です．物理学の主流は2πをつけないのが習慣です．逆変換の際はよく注意して下さい．

お礼

回答ありがとうございます。
分野によって少し形の違う道具を使うといった感じですね。物理をやっていながら、F(k）とf(x)の名前は始めて聞きました…

回答No.3

Teleskope

>>　それとも本質的に何か裏があるのでしょうか。<<

　yes.フーリエ変換が「発明」された当初のことを
将来どこかで学んでください。exp(-X)はXが大きく
なるに従ってゼロに近付きます。exp(X)は大きくな
る一方です。　で、一筋縄では積分できない関数に
前者を掛けると 積分できちゃう場合が多いのです。
後者ではそうは行きそうもないのは 想像できます
ね。
　フーリエ変換はツールです。物理では 関数が積分
できれば とても有り難いことなんです。それゆえ
「発明」の当初から exp(-X) の方を使っています。
この辺の事情の定番としてガンマ関数があります。
すでに習ってますか？そのときこの話が出ると良い
んですが。　数学では 具体的に積分できるか否か
は本質的な事ではないので、±の優劣は眼中にありま
せん。
　kxの他に、ωt=2πft が使われますが、これも分
野によって多様です。通信、符号理論の分野では
-4π^2ft というのも見ます。変換/逆変換で前に出
てくる係数1/2πも、古典物理と量子物理で違えて
ます。料理する対象に合わせてナイフを変えるがご
とくです。まさにツールですね。フーリエ変換の公式
がいっぱい存在するのには、こういう裏があります。

お礼

追加の回答わざわざどうもありがとうございます。
自分で言うのもなんですが、ますます理解が深まったと思います。
ガンマ関数は前セメスタで一度やりましたがあまり覚えてません…ちょっと見直してみます。

回答No.1

keyguy

世の中の決まりです
もしあなたが反対符号を選ぶのならばいちいち断らないと誤解を受けます
論理的にはどっちでもかまいません
日本は車が左側通行
アメリカは右側通行
という以上のものではありません

お礼

回答ありがとうございます。
分かりやすい例ですね。ただ自分は、左側通行に決まったのはなにか事情があったんじゃないか…とどうでもいいことを考えてしまうタイプなんですf(^_^;