微分方程式で、分母=0の場合は何故議論しない？0の時はどうなるの？

質問

微分方程式で、分母=0の場合は何故議論しない？0の時はどうなるの？

(質問1)
どのような（と言ってもそんなに多くの本を見たわけではないですが）微分方程式の本を読んでいても、
式の変形途中で分母=0となる可能性が無視されているのですが、
分母が0となる時を全く考慮しないのはなぜでしょうか？

(例1)
dy/dx = 2xy
dy/y = 2x dx　　←ここ
y = Aexp(x^2)

(例2）
dy/dx = y/x　←x≠0のはず
dy/y = 1/x dx　←ここ
y = Ax　←x≠0はどうなる？

(質問2)
また、分母が０となる場合を考慮しようと思ったら、
どう考えればいいのでしょうか。

（以下、具体的に僕が混乱しているところ。議論は間違っていると思います。）
例えば上の例1の場合、
dy/dx=2xy　の時点で　y=0(定数関数)　とすると、
y'=0=2x*0　から　xは任意　です。
しかし一般解において　A≠0,exp(x^2)≠0　よりこれは解に含まれません。
・・・？

例2については、　dy/dx = y/x　の時点で　y=0（定数関数）　とすると
y'=0=0/x　となって　x≠0　で　xは任意　です。
しかし一般解から　y=0　とすると、やはり　A≠0　なので　x=0　です。
・・・？

助けて下さい。
どなたか回答をお願いします。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

dy/dx=2xy
の一般解は、y=Aexp(x^2)　（Aは定数）
ここで、A=0　のときを考えれば、y=0　となります。

y≠0　の場合の解は、y=Aexp(x^2)　(A≠0)
で、
y=0(定数関数)は解ですが、A=0とすれば含められます。

例２も同様です。
dy/dx = y/x
の一般解は、y=Ax　（Aは定数）
y≠0のときの解は、A≠0の条件に対応しており、
y=0　のときは、A=0　となりますから、定数Aの条件を
はずせば含められます。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
言われてみれば・・・見事に混乱していました。

ところで、そのような話は一般的にも成り立つのでしょうか？
つまり、分母=0の可能性を無視して計算を進めて出てきた一般解について、
積分定数の制約条件を変えれば分母＝0の場合を含むことが出来るのでしょうか？

補足

解決する見込みが無いので締め切ります。
回答ありがとうございました。