積分順序の交換の際の書き方について

質問

積分順序の交換の問題。

∫[x=0,1]dx∫[y=ax,bx]f(x,y)dyを変形した場合、正しい書き方は次のどちらでしょうか？

i)∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx-∫[y=0.a]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx
ii)∫[y=ax,bx]dy∫[x=y/a,y/b]f(x,y)dx

勿論どちらも間違っている可能性もありますが。
順序の交換の問題で減算ってアリですか？

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#2です。
補足質問に対する回答です。

b＜aの場合でも、b＞aの場合のi)の積分結果の符号が反転し、
以下の3通りの順序を変えた積分のいずれの個別積分の符号も変わりますので、いずれの場合の積分結果も、元の積分の結果と同じになり正しい結果がえられます。（積分の方向や下限、上限の範囲は逆になりますが結果は元の積分と等しくなります。）
ただし、A#2で書いたようなf(x,y)の定義がx=0～（a/b＞１）で定義されていないといけませんね。

＞ⅰ）∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx-∫[y=0,a]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx
＞ⅲ)∫[y=0,a]dy∫[x=y/b,y/a]f(x,y)dx+∫[y=a,b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx
それから私のA#2で示した
＞ⅲ)→
ⅳ)∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,y/a]f(x,y)dx-∫[y=a,b]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx

お礼

>x=0～（a/b＞１）

これがよくわかりませんがありがとうございます。

回答No.2

oyaoya65

A#1さんの回答どおり
i)はb>aの下で正しく、
ii)は正しくありません。
積分領域をxy座標平面に図示すれば明らかです。

＞順序の交換の問題で減算ってアリですか？
積分の順序の交換というより、積分領域からみた範囲をどのように積分するかで決まるわけで、i)の前半の積分領域が多すぎた分、後半の積分で多すぎた積分領域分の積分を減じているだけですね。
たとえば
次のような積分でも、f(x,y)が定義さえされている限り積分の順序は交換できますね（b＞a）。

ⅲ)∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,y/a]f(x,y)dx-∫[y=a,b]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx
（積分領域をxy座標平面に図示すれば分かると思います。）

お礼

>積分の順序の交換というより、積分領域からみた範囲をどのように積分するかで決まるわけで、i)の前半の積分領域が多すぎた分、後半の積分で多すぎた積分領域分の積分を減じているだけですね。

なるほど、やはり大丈夫ですか。

あと、b>aという条件は付与されていないので、やはり

　∫[y=0,a]dy∫[x=y/b,y/a]f(x,y)dx+∫[y=a.b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx

と和算で記述しなければならないのでしょうか？

回答No.1

endlessriver

i)が正しいようです。だだし、b>a.
ii)は変数xが残ることからも正しくありません。勿論、yの積分区間が[a,b]であったとしても誤り。

＞順序の交換の問題で減算ってアリですか？
積分区間の順序を交換すれば公式より符号は反転します。

お礼

>積分区間の順序を交換すれば公式より符号は反転します。
どういうことでしょうか。
今回は重なっている部分を除いただけなのですが・・

と答えていただいたのに申し訳ありませんが
単純に
iii))∫[y=0,a]dy∫[x=y/b,y/a]f(x,y)dx+∫[y=a.b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx
とやればいい気がしてきました・・

どうなんでしょうか。