θはrの関数か？

質問

微分で2つほど疑問がわいたので質問します。
球面三角形の定理、球面上の2点を、球面に沿って結ぶ曲線のうち、長さの最も短いものはこの2点を通る大円の劣弧である。これを導関数を用いて考えると、添付した図のように、長さ2aの線分ABを弦とし、半径r、中心角2θの扇形を考えて、
弧ABの長さをSとすればS=2rθ・・・(1)
sinθ=a/r ただし0<θ<π/2・・・(2)
dS/dr=2{θ+r(dθ/dr)}この微分の部分が最初の疑問点です。
積の導関数を使っていると思うのですが、θはrの関数かがわかりません。最初は、dS/dr=2θと間違えました。
自分は、積の導関数は、sin^2xcos2xのように同じ変数の関数の積に対して導関数を求めるものだと思いました。どなたかdS/dr=2{θ+r(dθ/dr)}を解説してください。お願いします。
本では、(2)よりθ=sin^(-1)(a/r)(0<θ<π/2)これをrで微分して、dθ/drを求め、dS/dr=2(θ-tanθ)・・・(3)。扇形の面積{(1/2）r^2θ}と三角形の面積{(1/2）r^2tanθ}を比べて、θ<tanθ(0<θ<π/2)より、dS/dr<0よってSは減少関数であることがわかり、定長線分ABの両端を通る円弧は半径が大きいほど短い。ここが2つ目の疑問点です。これはrが大きくなれば、θ-tanθの値が小さくなっていく(θの値が一定で、tanθが大きくなる)と考えればよいでしょうか？どなたか、定長線分ABの両端を通る円弧は半径が大きいほど短い。の解釈はこれでよいかを教えてください、お願いします。

回答No.1

gamma1854

S=2rθ, sinθ=a/r ゆえ、S=2r*arcsin(a/r) となり、Sは当然, ｒの関数です(a<r)。よって、
dS/dr=2*arcsin(a/r) + 2r*(-a/r^2)/√{1 - (a/r)^2}
=2*arcsin(a/r) - 2a/√(r^2-a^2) = 2(θ - tanθ)...(*)
です。S"(r)=(2a/r)*(r^2-a^2)^(-3/2).
また、(*) については、y=x, y=tan(x), (0<x<pi/2) のグラフを書いて確認してください。
r->(大) のとき、θ->(小) です。

お礼

本では、θ=arcsin(a/r)が、dS/drの後に取り上げられているので、θがrの関数かわからなかったです。S=2r*arcsin(a/r) と書いてもらい疑問が解消しました。ありがとうございます。
y=xとy=tan(x)のグラフはパソコンのソフトで描こうとおもいます。お返事ありがとうございます。