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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：数学の質問 ２変数関数の最大 （９２０４Ｋ））
最大値を求める方法と結果
このQ&Aのポイント
- 質問文章は、２変数関数の最大値を求める問題です。図形のおうぎ形の弧上に２つの点を取り、それらを結ぶ四角形の面積の最大値を求める問題です。
- 問題の解法は微分を使った最適化の手法で行われます。弧上を動く点の座標をパラメータ化し、四角形の面積をパラメータで表現します。そして、面積を最大にするパラメータを求めるために微分を行い、その解を求めます。
- 具体的に微分を行い、極値を求める過程を説明しています。最終的に、パラメータを代入することで最大値を求めることができます。
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質問者が選んだベストアンサー
微分を持ち出す必要もない。 図形ＡＰＱＢＯの面積＝Ｓとし、∠ＰＯＡ＝α、∠ＰＯＱ＝β、∠ＢＯＱ＝γ とすると、α＋β＋γ＝θ。 sinxは 0＜x＜πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin(α＋β＋γ)/3 ‥‥‥(1) が成立するから、2Ｓ＝sinα＋sinβ＋sinγ より、Ｓ≦(3/2)*(sinθ/3)。 よって、図形ＡＰＱＢの面積＝Ｓ-(1/2)*(sinθ)だから、求める最大値は、１/２*（３*ｓｉｎθ/３－ｓｉｎθ) 等号は、(1)より α＝β＝γ＝θ/3の時。 凸関数が分からなければ、“凸関数”で検索すると、たくさん出てくる。
その他の回答 (1)
- alice_44
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回答No.1
極大値が最大値になる理由は、書いておかないとまずいでしょう。 ABPQ が四角形にならない場合も許して、x, y の変域を 0≦x, 0≦y, 0≦α-x-y に拡張して考えれば、 S は有界閉領域上の連続関数だから最大値、最小値を持ちますが、 最大値は、極大以外に、定義域の境界上でとる可能性があります。 境界値が極大値より大きくないことを確認しなくてはならない。
質問者
お礼
0≦x, 0≦y, 0≦α-x-y に拡張して考えれば、 S は有界閉領域上の連続関数だから最大値、最小値を持ちますが、 最大値は、極大以外に、定義域の境界上でとる可能性があります この辺が、分かりませんでした。 でも、違う方に質問して分かりましたので、大丈夫です ありがとうございました。
お礼
凸関数について調べました。 ｆ（ｘ）が閉区間Ｉにおいて凸関数であるとき Ｉに属する２点ｘ１とｘ２と、実数０≦α≦１を どのようにとっても、 ｆ（αｘ１＋（１－α）ｘ２）≦αｆ（ｘ１）＋（１－α）ｆ（ｘ２）が 成立することを言う と書いてありましたが、 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘはともかく、 αとｘ１とｘ２に対応するものは どれでしょうか？
補足
回答ありがとうございます。 微分使わなくてもいいんですか・・・ ちょっと、考えて又お返事いたします。