三角関数の極限について

質問

lim[x→0]sinx/x=1 の証明で、教科書には
http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/kyoku2.html
のような証明が載っていました。
ここには、扇形OAPの面積=(1/2)*θとありますが、
扇形（円）の面積を求めるときの証明で
lim[x→0]sinx/x=1を使った
http://www8.plala.or.jp/a12/sano/en1.htm （←のように）と思うのですが、
lim[x→0]sinx/x=1を用いずに円の面積を求める方法、
もしくはさらに厳密なlim[x→0]sinx/x=1の証明はあるでしょうか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

最近、私も似た質問をして、数人の方から回答をいただきました。（ご存知だったら、すみません）
過去にも類似の質問は相当数あったようで、その紹介をしてくれた方もいらっしゃいます。
一応、リンク貼っときます。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1997398

何かのお役に立ちましたら。
ご参考まで。

お礼

回答どうもありがとうございます。
かなりたくさん回答があるようですね。
よく調べ切れていませんでした。すみません。
とりあえず読んでみようと思います。

回答No.1

take008

実は三角関数の角の単位を弧度法と言うのがいけません。弧度ではなく扇度とでも言うべきなのです。πを使うと，これがまた円周率と呼ぶことから弧の長さをイメージしてしまいますから，単位円の面積をσで表すことにします。円積率とでも呼んでください。
半径が１の扇形の面積は中心角と比例するので，その２倍で角を表すことにします。言い換えると，面積が θ/2 の扇形の中心角 α゜＝θラジアン と定義するのです。すると，lim[x→0]sinθ/θ＝1 は問題ないですね。何が問題になるかというと，σ＝π が成り立つかです。曲線の長さ＝∫√(1+(y')^2)dx によって，半円 y=√(1-x^2) (-1≦x≦1) の長さを計算すると σ になります。ゆえに，σ＝π となり，矛盾でも循環論法でもありません。
なお，双曲線関数 ｘ＝coshθ＝(e^θ＋e^(-θ))/2 と ｙ＝sinhθ＝(e^θ－e^(-θ))/2 は，双曲線 x^2-y^2=1 上の点Ｐ(x,y)の座標を，OP,x軸，双曲線で囲まれる部分の面積θ/2で表したものです。このθは双曲線の弧の長さとは一致しません。

お礼

回答どうもありがとうございます。
まだ曲線の長さの求め方を学習していないので
後で検討したいと思います。