数学の問題について（２次関数）

質問

点Pは円x^2+(y-2)^2=2上を動き、点Qは放物線y=x^2/a (a>0)上を動く

(1)点Qの座標を(x,y)として、円の中心をCとするとき、CQ^2をyの関数で表せ。
(2)この２つの曲線が共有点をもたないとき、yの関数PQの最小値を求めよ。
(3)PQの最小値をaを用いて表せ。

(1)から順に答えが

(1)y^2-(4-a)y+4

(2)4-2√2＜a≦4のとき最小値√(8a-a^2)/2
a＞4のとき2-√2

(3)0＜a≦4-2√2のとき最小値0
4-2√2＜a≦4のとき最小値{√(8a-a^2)/2}-√2
a＞4のとき2-√2

となるのですが、(2)からどうしてそうなるのかがわかりません。
(2)の場合分けなどどなたか解説をしていただけたらと思います。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

C=(0,2)
ay=x^2
|CQ|^2=y^2-(4-a)y+4

y≧0だから
a≧4のとき
→|CQ|^2=y^2-(4-a)y+4≧4
|CQ|^2≠2だからQは共有点とならない
→|CQ|≧2
y=0のとき|CQ|の最小値2となる
任意のQに対して
|CQ|=|PQ|+|CP|=|PQ|+√2
となるPがあるから
|PQ|の最小値2-√2

4-2√2<a<4のとき
→|CQ|^2={y-(4-a)/2}^2+(8a-a^2)/4≧(8a-a^2)/4>2
|CQ|^2≠2だからQは共有点とならない
→|CQ|≧{√(8a-a^2)}/2
(4-a)/2>0だから
y=(4-a)/2のとき|CQ|の最小値{√(8a-a^2)}/2となる
任意のQに対して
|CQ|=|PQ|+|CP|=|PQ|+√2
となるPがあるから
|PQ|の最小値[{√(8a-a^2)}/2]-√2

a≦4-2√2のとき
(a-4)^2≧8
(a^2-8a+8)/4=((a-4)^2-8)/4≧0
{4-a+√(a^2-8a+8)}/2>0
だから
y={4-a+√(a^2-8a+8)}/2とすると
y>0
→|CQ|^2={y-(4-a)/2}^2+(8a-a^2)/4=2
Qは共有点となるから
|PQ|の最小値0