≪問題≫aを正の定数として，座標平面上に

質問

≪問題≫aを正の定数として，座標平面上に
円C:(x-a)^2+y^2=36
放物線C':y=x^2がある。
(1)C'とCが共有点をもたないようなaの範囲を求めよ。
(2)点PがC'上，点QがC上を動くとき，線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。

(1)は円が放物線に接するときのaの値を求めようと代入してみたのですが、答えが導き出せません＾＾；
(2)はP,Qを文字を使って，表していろいろ試してみたのですが^^；これも引っかかってしまって…

どなたかよろしくお願いします^^

回答No.6

f272 · ベストアンサー

円と放物線が接するときの接点を(p,p^2)とすると、接線の法線はy=-(x-p)/(2p)+p^2だから、この法線とx軸との交点が円Cの中心になるのでa=p+2p^3
これから
(p-a)^2+(p^2)^2=4p^6+p^4=36
となって、とくべき方程式は
4p^6+p^4-36=0
だけど、#4で回答したときには気付かなかったが、これは
(p^2-2)(4p^4+9p^2+18)=0
となって
p^2=2
p=√2
が出てくる。だから
a>p+2p^3=√2+4√2=5√2

(2)の方もp=√6になるからa=13√6

お礼

ありがとうございました＾＾！

回答No.5

nag0720

(1)
円と放物線が接するときの接点を(p,p^2)とすると、接線の法線は、
y=-(x-p)/2+p^2
この法線とx軸との交点が円Cの中心になるので、
a=p+2p^2
よって、
(p-a)^2+(p^2)^2=5p^4=36
p=(36/5)^(1/4)≒1.638073
a=(36/5)^(1/4)+12/√5≒7.004636
以上より、共有点を持たないaの範囲は、
a＞(36/5)^(1/4)+12/√5≒7.004636

(2)
(1)と同様に計算して、
5p^4=900
p=180^(1/4)≒3.662842
a=180^(1/4)+12√5≒30.49566

お礼

解き方がわかりました!!

回答No.4

f272

ちょっと解いてみたけど面倒だね。もっと簡単にならないものだろうか？

(a-x)^2+x^4=36
が実数解を持たなければ良い、というところまではいいとして
(a-x)^2=36-x^4
a=x+√(36-x^4)
となって
f(x)=x+√(36-x^4)
の最大値よりもaが大きい範囲を求める。
f'(x)=1-2x^3/√(36-x^4)
だから、f'(x)=0のとき
2x^3=√(36-x^4)
4x^6+x^4-36=0
これをx^2についての3次方程式とすれば
x=1.411850784
が求まって
f(x)=7.071061406
が最大値だとわかる。従ってもとめる範囲はa>7.071061406

(2)
(1)は半径が6だけど、こちらは半径が6+24=30を考えればよいわけです。
(x-a)^2+y^2=900
として同じように計算すると
a=31.84336652
となった。

お礼

ありがとうございましたｗ

回答No.3

gohtraw

再び＃１です。最後まで解いたわけではなくあまり自信はないのですが。
（１）点（ｐ、ｐ＾２）におけるＣ’の接線
（２）（１）と同じ傾きを持つＣの接線
を比較したとき、（１）のｙ切片が（２）のｙ切片（二つあるうちの大きな方）よりも大きければＣとＣ’は共有点を持たないのではないでしょうか？
　二番目の問題も上記の二つの接線の距離の最小値を２４とおけばいけるような気がします。

お礼

ありがとうございます^^
上記を参考にして，解いてみます!!!

回答No.2

gohtraw

＃１です。大ボケでした。申し訳ありません。考えなおします。

お礼

ありがとうございます。

補足

本当に申し訳ありません。。。
自分がもっと詳しく書いておくべきでした。・゜゜・(≧д≦)・゜゜・。エーン!!

すみませんが…
よろしくお願いします＾＾

回答No.1

gohtraw

Ｃ’とＣが共有点を持つということは、Ｃの中心からの距離が６となる点がＣ’上に存在するということです。Ｃ’上の点の座標を（ｐ、ｐ＾２）としてこれを式で表すと
（ｐ－ａ）＾２＋ｐ＾２＝６
となり、これはｐの二次方程式になりますので判別式＜０でａの範囲が決まります。
　Ｃ’上の点Ｐを定めたとき、ＰＱが最小になるのはＰＱの延長上にＣの中心があるときです。したがってこの問題はＰとＣの中心の距離の最小値が３０となると読み替えることが出来ます。この距離をＬとすると
Ｌ＝（ｐ－ａ）＾２＋ｐ＾２
なのでＬの最小値をａで表わすことができます。

お礼

ありがとうございました！

補足

＞Ｃ’とＣが共有点を持つということは、Ｃの中心からの距離が６となる点がＣ’上に存在するということ＞です。Ｃ’上の点の座標を（ｐ、ｐ＾２）としてこれを式で表すと
＞（ｐ－ａ）＾２＋ｐ＾２＝６
＞となり、これはｐの二次方程式になりますので判別式＜０でａの範囲が決まります。

この部分なのですが、自分も同じように考えて
＞（ｐ－ａ）＾２＋ｐ＾２＝６ではなく
（ｐ－ａ）＾２＋ｐ＾４＝３６となってｐの4次方程式になってしまって、ｐが実数解をもたなければいい、と判断したのですが、これの求めたがわかりません＾＾；
どうでしょうか？？