二次不等式…わかりません。

質問

以前も二次不等式の問題で質問したんですが、またどうしても理解できないの問題があるので教えてください。

問題：次の二次不等式が与えられた範囲内において常に成り立つように、定数mの範囲をそれぞれ求めよ。

式：x^2-2x+m≧0
範囲：-2≦x≦0

という問題です。
まず、問題の意味からわからないんですが…

この範囲-2≦x≦0というのは何者なんでしょうか？
これは、二次不等式の解の範囲ですか？
でも、そうしたら、x^2-2x+m≦0じゃないと成り立たない気がするんですね。

それから、x^2-2x+m≧0ということは、xが0のときにmは0以上なんですよね。だから、何？っていう話なんですけど・・・・この考えは使えますか？

教えてください。

ちなみに、解答はm≧0です。

回答No.6

debut · ベストアンサー

Ｎｏ５です。
＞頂点のｘ軸は絶対に１なので、このグラフはただ上に下がったり下に下
＞がったりするだけなんですよね。
＞そうすると、ｍ－１≧－１でないとだめなんですね。
＞こういうことですよね？
　　そう。その通りです。０より大きい所で、グラフがｘ軸より上でも
　　下でもよく、ただ、ｍ－１≧－１を満たしていさえすればいいので
　　すね。だから、判別式うんぬんの話はこの場合関係しないのです。

お礼

ほんとうにありがとうございました。

回答No.5

debut

この問題の場合、範囲が－２≦ｘ≦０において、と限定されているので
その範囲以外でｙ＝ｘ^2－２ｘ＋ｍのグラフがｘ軸の上だろうが下だ
ろうが関係ありません。この範囲においては必ずｘ軸の上にあればいい
だけです。
グラフを調べると、下に凸で、頂点が(1,m-1)。
このことから、グラフは－２≦ｘ≦０の間では単調に減少することが
いえます。したがって、－２≦ｘ≦０の間でグラフがｘ軸より上にある
ためには、ｘ＝０のときｙ≧０がいえればいいだけになります。
よって、ｍ≧０。

お礼

ありがとうございます！
頂点が（１，ｍ－１）なので、範囲内でｙの値が一番最小のｘ＝０のときに、ｙが０以上でないとだめなんですね。
この二次関数の頂点のｘ軸は絶対に１なので、このグラフはただ上に下がったり下に下がったりするだけなんですよね。
そうすると、ｍ－１≧－１でないとだめなんですね。
こういうことですよね？

回答No.4

noname#47050

現時点では判別式を使って考えるのは得策ではありません。ましてや＃４など論外です。紙と鉛筆でグラフを実際に、自分で、書いてみるのです。数学ではグラフを自分で描いて考えるのは必須事項です。ノートの端にちょちょっと書いたってわかりゃあしません。＃１にあるようにm=-1,0,1として実際のグラフを描いて下さい。ちゃんと頂点座標とｘ軸ｙ軸との交点座標も書くのです。そうすると「ああ、ｍの値によって違うのだな」とか「このｍの値ならグラフはｘ軸より上になるんだな」と分かります。

お礼

ありがとうございます。グラフを書いて、考えたら、わかりました！

回答No.3

take_5

(1)任意の実数xに対して式：x^2-2x+m≧0が常に成立するmの条件を求めよ

この場合は、グラフを考えると、下に凸(x^2の係数が正であるから)。
従って、判別式≦0であれば良い。

(2)範囲：-2≦x≦0において、式：x^2-2x+m≧0が常に成立するmの条件を求めよ

この場合は、xの変域が-2≦x≦0という限られています。
この場合は、式の最小値が常に正であれば良いわけです。

実は、(1)の場合も全く同じことなのです。
判別式を使いましたが、x^2-2x+m＝(x-1)＾2＋(m-1)と変形して、最小値≧0と考えればx＝1の時に最小値　m-1となりますから、m-1≧0となり判別式と同じ結果が得られます。

従って、(2)においては、x^2-2x+m＝(x-1)＾2＋(m-1)は-2≦x≦0における最小値は、x＝0でmになりますから、m≧0であれば良いと言うことになります。

補足

なぜ、判別式≦0なのか、わかりません…
判別式＞0はあり得ないんでしょうか？

回答No.2

j-mayol

二次不等式と二次関数のグラフの関係が理解できていないのではないかと思います。
y=x^2-2x+m　と置き、そのグラフをイメージしてください。
ｘがすべての実数でx^2-2x+m≧0となるには、y=x^2-2x+mのグラフが常にx軸よりも上にある→x軸と交点を持たないまたは交点が１つ
→判別式≦０　となるのはまず大丈夫でしょうか？
で本題です。与問題はxの範囲がすべての実数ではなく-2≦ｘ≦0との
範囲が決まっていますので、先ほど書いたグラフの変域が-2≦ｘ≦0
の場合をイメージしましょう。y=x^2-2x+mを平方完成すると、
y=(x-1)^2+m-1となり、軸はx=1です。よって-2≦ｘ≦0の範囲では、
yの最小値はx=0のときとなるわけで、ここでやっとx=0のときにm=0
が使えるわけです。
-2≦ｘ≦0でx^2-2x+m≧0→-2≦ｘ≦0での最小値が0以上→
x=0のとき最小値ｍをとるから→ｍ≧0
となります。

補足

ありがとうございます。全体的には理解できた気がします…気がしてるだけかもしれないのが、怖いですが…
それで、なぜ、y=x^2-2x+mがx軸よりも上にあるのか、理解できません。
たとえば、ax^2+bx+c>0（a>0）でb^2-4ac>0というグラフはありえないんですか？
いや、ありえますよね。
では、なぜ、y=x^2-2x+mががx軸より上だとわかったんですか？
見分ける方法がわかりません…。

あー、ほんと、こんぐらがっててるんですよね…
ごめんなさい、バカで。涙

回答No.1

7772

疑問に答えられているか少し不安です。
私も初めて習ったときは悩みましたが、現在は以下のように認識しています。

式：x^2-2x+m≧0・・・f(x)
範囲：-2≦x≦0
が常に成り立つと言うのは、f(x)がxのとりうる値の範囲内では、常に正の値しかとらないと言うことです。
とはいえ、なかなか言葉では説明しづらいので、図を書いてみてください。
f(x)と言うのもまたわかりづらいので、y=x^2-2x+mのグラフを書きましょう。
まず頂点を求めるために式を変形すると・・・y=(x-1)^2-1+m
と言う形になります。
よってこの二次関数のグラフは、頂点（1,-1+m）で下に凸のグラフとなります。
では、m=-1,m=0,m=1のときのグラフをxy平面上に書いてみてください。

書きましたか？

そうしたら、-2≦x≦0の範囲に注目してください。
m=-1のときは、x=0のときにy=-1の値をとってしまいますね。
ですから、x^2-2x+m≧0の式を満たしていません。
同様にすると、m=0,1またはそれ以上のときは常に条件を満たしているはずです。

つまり、この問題は平たく言えば、範囲内においてグラフがx軸より上にあるようなmを見つけろ。
と言うことです。

私の表現力ではこれが限界です。グラフがあればいいのですが・・・

補足

ありがとうございます。
全体的にはわかったんですが、なぜ、y=x^2-2x+mがx軸よりうえにくるか、わかんないんです…。