絶対値の問題について

質問

||||x+a|-b|+a|-b|<=1
は-1<=x<=1のとき，常に成り立つという。このとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ。
という問題がわかりません。解答のほうをお願いします。

回答No.2

MarcoRossiItaly

No.1です。

すみません。
No.1でお伝えした方法で進めると、できなくもないとは思いますが、別の方法を試しましょう。

No.1の方法で愚直に絶対値を取り除いていくと、

x=±1, a=-(x±1)/2, b=-a-(x±1)/2, b=(x±1)/2, b=a+(x±1)/2, a=-(x±1)/2

（x=±1は、境界の式は得られないが、a、bがある条件を満たすときxの値は自動的に定まることを示す）

となるかと思います。
これらの境界を図示すればいいのですが、17の領域に色を塗ることとなり、そこからxを動かすと境界がどちらに向かってスライドするのか…など考えることとなって、頭が痛くなりそう。

さて、別の方法というのは、グラフを書くことです。
a-b平面ではなく、x-y平面にまずy=||||x+a|-b|+a|-b|のグラフを書きます。
すると、-1<=x<=1の定義域でyの最大値が1以下になるようにa、bの範囲を決定する問題になります。

例えばy=|x+a|のグラフは、y=x+aのグラフのうちy<=0（x=-a）の部分をx軸に関して対称になる位置に折り返したグラフで、全体的にはV字型。
V字の頂点の座標は(-a, 0)。

次にy=|x+a|-b (b>=0)のグラフは、y=|x+a|を下にスライドしたもの。
y=||x+a|-b| (b>=0)のグラフは、スライド後のy<=0 (|x+a|-b<=0より-a-b<=x<=-a+b)の部分をx軸で折り返した、W字型。
y=|x+a|-b (b<=0)のグラフは、y=|x+a|を上にスライドしたもので、V字型のまま。
だからy=||x+a|-b| (b<=0)のグラフは、y=|x+a|-b (b<=0)と同じ姿のまま。

もし与式の左辺がここまでで終わりなら、x=±1（定義域の端点）のときのy座標、W字の頂点のy座標をa、bの式で表し（b>=0などの条件も示しながら）、それらy座標が1以下であることから、a、bを含む不等式を得る…というストーリーで、最終的にa-b平面に図示すればいいですね。

まあ実際には絶対値の記号はあと2つ残っているので、場合分けがたいへんですね…。

回答No.1

MarcoRossiItaly

絶対値の記号が邪魔ですよね？
一個ずつ外していけば勝手に答えにたどり着きます。
例えば、次の式から絶対値を取るとどうなりますか？

|t|<=1

こうですね。

-1<=t<=1

でもこの手の、絶対値がたくさんついている式では、上のように不等式で表していくと、場合分けの数が多くなりすぎて、とてもたいへんになります。
なので不等式を求めるのではなく、境界の式だけを求めていきます。

|t|=1

から、

t=±1

と書けば、これは境界の式です。

境界の式を全部図示したら、境界によって分けられたいくつもの領域のうち、どこが与えられた不等式を満たすのか、どこが満たさないのかを最後にチェックし、満たすところに色を塗っていけばいいでしょう。

与えられた式で同じことをしてみましょう。
不等号を等号に置き換えてから、計算を進めます。

||||x+a|-b|+a|-b|=1

いちばん外側の絶対値から順に外します。

|||x+a|-b|+a|-b=±1

となりますね。
これを書き直すと、

|||x+a|-b|+a|=b±1

となりますね。
同様に2つ目の絶対値を外して、移項もすると、

||x+a|-b|=-a+b±1, -a-b±1

同様にあと2回、絶対値を外していけば、最後にa、b、xで表される数本の等式が得られるはずですね？
もう想像がついているでしょうけど、境界は1次式、つまり直線になりそうですね？
それらをa-b平面上に書けばいいんじゃないでしょうか。

ただ、それらの式にはxが含まれているのだから、xが変化すると境界も平面上でずれることになりますね？
-1<=x<=1の範囲でxを動かすとき、それらの境界がどこからどこまで動くかを考えてください。

最後に、色塗りするべき答えの領域がどれであるかを調べるために、具体的な数字を代入してみればいいのです。
例として、x=1/2のとき、(a, b)=(1, 1)という数字は、与えられた不等式を満たしています。
つまり、「x=1/2であるときに(1, 1)を含んでいる領域」（xを変化させれば領域は少しずれるわけですが）は、色を塗ればいい。
境界によって分けられている他の領域はどうなっているかも、適当な具体的な数を代入して調べればいいですね。

補足

この方針でやってみると、
・-1<=bのとき
　||x+a|-b|=-a±(b+1)
(1)-a-b-1>=0のとき
　|x+a|=b±(-a-b-1)=-a-1 or a+2b+1
-a-1>=0つまりa<=-1のとき
　x=-a±(-a-1)=-2a-1 or 1　　←x=1というのは(a，b)平面に図示できないのですが
　　　　　　　　　　　　　　　　どう解釈すればよいのでしょうか。
(2)-a+b+1>=0のとき
　|x+a|=b±(-a+b+1)=-a+2b+1 or a-1
-a+2b+1>=0のとき
　x=-a±(-a+2b+1)=-2a+2b+1 or -2b-1
a-1>=0のとき
　x=-a±(a-1)=-1 or -2a+1

・b>1のとき
||x+a|-b|=-a±(b-1)
(3)-a-b+1>=0のとき
　|x+a|=b±(-a-b+1)=-a+1 or a+2b-1
-a+1>=0のとき
　x=-a±(-a+1)=-2a+1 or -1
a+2b-1>=0のとき
　x=-a±(a+2b-1)=2b-1 or -2a-2b+1
(4)-a+b-1>=0のとき
　|x+a|=b±(-a+b-1)=-a+2b-1 or a+1
-a+2b-1>=0のとき
　x=-a±(-a+2b-1)=-2a+2b-1 or -2b+1
a+b>=0のとき
　x=-a±(a+1)=1 or -2a-1

||||x+a|-b|+a|-b|=1の場合を考え場合分けすると以上のようになったのですが、この後の
処理がわかりません。ご教授お願いします。