点（a，b）の存在範囲

質問

y=x＾3-3xへ３本の接線が引ける点（a，b）の存在範囲を図示せよ。
という問題なのですが、解答の方針すら分からない状態です…どなたか、アドバイスお願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

“結果的に”丸投げなんで削除されるでしょうが。。。。。

y=x＾3-3x上の点(t、t＾3-3t)における接線は、y＝(3t＾2-3)(x-t)＋t＾3-3t。
整理して、これをtの関数とみると、f(t)＝2t＾3-3xt＾2＋y＋3x＝0
。
これが、異なる　(と解釈します)　3つのtの実数解を持つと良いから、(極大値)(極小値)＜0であると良い。
結果は、(y＋3x)(y-x＾3＋3x)＜0になります。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.4

HTNK

まず、曲線y=x^3-3x上の点をpとします。
pの座標はp(t,t^3-3t)と表せますね。(t:実数)
次に点pにおける接線の方程式は
y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(x-t)
で表せますよね。
この接線が点(a,b)を通るとすると
b-(t^3-3t)=(3t^2-3)(a-t)
となりますね。
それじゃあ、この式をどうしようかという話ですけど、今の場合接線が３本引けるという事は、接点pが３個あるということです。
ということで、上の式をtについて整理しますと
2t^3-3at^2+3a+b=0
となります。このtに関する３次方程式が相異なる３つの実数解を持つようなa,bの条件を考えれば良いわけですね。
※「接線が３本引けるという事は、接点pが３個あるということです。」これはいつも成り立つわけではありません。

という、受験ではよくありがちな問題ですね。ただ、あんまり気持ちの良い回答ではないような気がします。
ちなみにANo.2さんの方法だと、とっても難しくなります。

お礼

ありがとうございました！！おかげで解くことができました。

回答No.2

koko_u

＜方針＞
点 (a, b) を通る方程式を傾きを m として考えて、y = x^3 - 3x との接線となる時の m を求める方程式を得る。
m が ３つの解を持つような (a, b) を考える。

回答No.1

noname#47050

まず図を描いて下さい。
グラフの中でどこか、接線を３本引けそうな点はありますか？
それを探すことです。