二次方程式について

質問

x^2+ax+b＝0の2つの異なる実数解α、βの範囲が-2＜α＜3、-2＜β＜3を満たすとき、点(a,b)が存在する領域をab平面上に図示せよ
という問題なのですが、解説お願いします

回答No.3

dreamfighter · ベストアンサー

一番陥りやすい誤答は解と係数の関係　　だけ　　　使ってしまうことです。解と係数の関係は実数解をもつことの必要十分条件ではないので、併せて判別式が0以上という条件を忘れないように！！！

この手の問題では解と係数の関係を使う人もいますが、私はグラフを書いて処理することをお勧めします。f(x)=(左辺)と置けば、

（１）頂点のy座標が０以下
（２）軸が-2から3の間にある
（３）f(-2)＞0,f(3)＞0である

この３つが条件ですね。グラフを書けば解決します。

それでは頑張ってください。

お礼

傾きか点の位置がないのに書く方法はなんでしょうか…

回答No.10

いろは にほへと（@dormitory）

二次方程式の解の存在範囲 という項目だよね。

分かって何よりでした。慣れだよ慣れ。分からなくて苦しんだものほど身に着くから。

お礼

わかりました たくさん苦しみますね

回答No.9

FT56F001

>傾きか点の位置がないのに書く方法はなんでしょうか
#3さんがヒントをくれて，#8さんはそのヒントの根拠を説明してくれた。
しかし，質問者さんには，まだやり方が見えないかな。

>（１）頂点のy座標が０以下
>（２）軸が-2から3の間にある
平方完成って習いましたね。放物線の軸，頂点の座標ってわかりますか?
忘れていたら，教科書を調べてもいいですよ。

>（３）f(-2)＞0,f(3)＞0である
f(x)=x^2+ax+bとおいたときに，f(-2)，f(3)は計算できますか?

これらを使えば，aとbの不等式が作れるので，(a,b)の存在範囲を図に描けるはずだけど。

お礼

今までごめんなさい…解決しました

回答No.8

dreamfighter

＞＞(1,2)、(3,4)みたいに点がないとグラフ書けないですよね？その点はどうやって求めるんですか？

うーん・・・・この質問の意図が分からない。2次関数が通る2点を決めると関数は一つに決まってしまいますよね？ここでは条件を満たす2次関数が存在するためのa,bの条件を求めるのですよ。関数を一つ決めても何にもなりません。

追加＆訂正します。

（１）頂点のy座標が０以下→頂点のy座標が０より小さい。（∵f(x)=0は2つの異なる実数解を持つから。）
f(x)は下に凸の2次関数です。実際に下に凸の2次関数を紙に書いてみましょう。その関数がx軸と2点で交わる（つまりf(x)=0が2つの異なる実数解を持つ）為には、この条件が必要だとわかるでしょう。

（２）軸が-2から3の間にある。
f(x)とx軸との交点は、軸に対して対称ですよね？（これは放物線の特徴で、これを使うと簡単になることが多いので覚えておきましょう。）ですから-2から3の間に解がほしければ、軸はこの間になければいけません。

（３）f(-2)＞0,f(3)＞0である。
(1)(2)の条件だけでは-2＜α＜3、-2＜β＜3を満たすとは限りません。f(x)がめちゃくちゃ平べったかったら、(1)(2)を満たしても-2＜α＜3、-2＜β＜3を満たさない時もありますよね。（自分で書いて実験してみましょう。）ですから（３）が必要です。

解の配置はグラフを書いて判断するのが鉄則です。
中には（１）だけでもいい時もあり、臨機応変に対処しましょう。

解の配置の問題では多くの場合は（１）（２）（３）のすべてが必要です。

お礼

今まですみませんでした… 解決しました

回答No.7

dreamfighter

>>傾きか点の位置がないのに書く方法はなんでしょうか…

？？？？分かりやすく質問してくれませんか。

お礼

すみません 傾きじゃグラフは書けないですね
え？(1,2)、(3,4)みたいに点がないとグラフ書けないですよね？その点はどうやって求めるんですか？

回答No.6

mister_moonlight

解の配置、という処理方法がある。これは教科書に載ってるはず。

http://www.cfv21.com/math/solplace2.htm

ＵＲＬの下の方の例題が、この問題に該当する。
もう一度、教科書を復習すると良い。これは2次方程式の基本的知識。

2解が共に　-2＜α、-2＜β　という条件なら解と係数でも良い。と言うより、そんなに面倒ではない。
しかし、-2＜α＜3、-2＜β＜3　というように“挟まれた変域”の場合は(解と係数でも解けるが)ＵＲＬのように処理した方が　ずっと楽。
面倒な方法は、計算ミスを誘引する。出来るだけ簡単な方法を考える、それが数学上達の一つの方法でもある。

お礼

教科書見直しましたが、二次方程式の解の範囲が決まったような問題は一切ありませんでした… URLは携帯からじゃ、ブログトップに飛んでしまい、記事検索しても見つからないです

回答No.5

mister_moonlight

＃1は馬〇じゃないか？　普段、偉そうな書き込みをする割には、実力は高校生以下。

解と係数(使えない事はないが、そんな面倒な事は不要)を使えというなら、その回答を書いてみろ。
自分の馬鹿さ加減に　気がつくだろうから。
いい加減な事を書き込む前に、自分で解いてからにしろ。救いようのないア〇。。。。。。ｗ

お礼

解と係数は不要なのですか わかりました

回答No.4

いろは にほへと（@dormitory）

改めてNo.2の者です。

二次方程式・不等式と二次関数が互いに深く関わっている事が既にお分かりでしたら、二次方程式が二つの異なる実数解を持つことを二次関数のグラフで考えるとどういう意味が成り立つか、また、二次の項の係数から得られる条件もある。具体的にはNo.3様の提示された事なのですが、敢えて加えるなら、二次関数はたった一つの座標平面上の放物線に関して思いの他様々な条件とか定義とか定まっています。十分時間をかければ、どうしようもなく分からないというほどの内容では無いので、放物線と解や座標軸との相互関係をご自分で図と合せて纏められると良いと思います。
私も必死こいてやりました。是非頑張って下さい。

お礼

わかりました 条件などを眺めて考えてみます

回答No.2

いろは にほへと（@dormitory）

座標平面上に与えられた2解の範囲に従って放物線を書く。異なる二つの実数解を持つわけだから、放物線はＸ軸と二点で交わる。

お礼

なるほど…どうやるのでしょうか…

回答No.1

under12

( ´・ω・｀)_「解と係数の関係」

お礼

解と係数の関係というと、ax^2+bx+c＝0の二解α、βがあるときα+β＝-b/aで、αβ＝c/aというやつですか？
どのように解くのでしょうか