空間の一次独立？

質問

いつも有難うございますｍ(＿＿)ｍ

ちょっと分からないところがありますので、
どなかた教えてください(>_<。)HelpMe!!

「
一直線上にない3点、A、B、Cの位置ベクトルをそれぞれ
0<t<1を満たす実数tに対して、三角形ABCの辺BC、CA、ABを
t:(1-t)に内分する点をそれぞれD、E、Fとする。
また、線分BEとCFの交点をG、線分CFとADの交点をH、線分ADとBEの交点をIとする。

点Gの位置ベクトルであるgベクトルを、
aベクトル、bベクトル、cベクトル、tで表せ。
」

という問題なのですが、
解答ではパラメーターを用い、
「
gベクトル=t(1-u)aベクトル+ubベクトル+(1-t)(1-u)cベクトル・・・(1)
gベクトル=(1-t)(1-v)aベクトル+t(1-v)bベクトル+vcベクトル・・・(2)

として、(1)=(2)からgベクトルを消去し、
左辺を、aベクトル、bベクトル、cベクトルでまとめ、
右辺を0ベクトルとして、、、、、
」

と続くのですが、

ここで、私は係数比較をして答えを出しました。

でも、解説にはちょこっと
「
aベクトル、bベクトル、cベクトルは一次独立ではないので、
係数が一致するとは限らず、係数比較は出来ない
」
と書いてありました。

ここで、質問なのですが、
どうして
「aベクトル、bベクトル、cベクトルは一次独立ではない」のでしょうか？

平行でもないし、ゼロベクトルでもないから、それぞれ独立していると思うんですけど・・・

もしかして、一次独立というもの、2本のベクトルに対してだけしか
使えないのでしょうか？

どなたか、よろしくお願いいたします(>_<。)HelpMe!!

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

a, b, c の定義はないけどそれぞれ A～C の位置ベクトル, ですか?
だとしたら, a, b, c が一次独立ではない可能性があります.
「A, B, C と原点 O が同一平面上にある」場合を考えてみてください.

お礼

Tacosanさん>

ありがとうございます！

>「A, B, C と原点 O が同一平面上にある」場合を考えてみてください.

ほっ、ほんとですね＞＜；
これだと、一次独立にならない時がありますね・・・

有難うございました♪サンキュッ (v^-^v)♪
助かりましたｍ(＿＿)ｍ

回答No.2

naniwacchi

#1の方の言われるとおり、位置ベクトルの原点からみてどうかということですね。
2次元平面上（原点とＡ、Ｂ、Ｃが同一平面上）であれば、1次独立でないことは明白です。

3次元空間上での話であれば、点Ａを「起点」とするように考えれば、1次独立を用いることができます。
ベクトル：b'=b-aとベクトル：c'=c-aは点Ａで「交差」しており、平行となることはないからです。

お礼

naniwacchiさん>

ありがとうございます！

点Ａを起点として、
2つのベクトルで考えれば問題ないですね♪

ありがとうございました♪サンキュッ (v^-^v)♪