数IIIの不等式の問題です

質問

(1)正の数ａに対してa^x=x^aとなる正の整数xは何個あるか？
(2)ｅ＾πとπ＾ｅはどちらが大きいか
２週間以上悩んでいます。お願いします

回答No.2

Takeshi-Gouda · ベストアンサー

これはどちらも

f(x) = log(x)/x　・・・（A)

を用いる問題ですね。
（logの底は自然対数eとします。）

(1)

a^x=x^a

両辺で自然対数をとって

xlog(a) = alog(x)

両辺をaxで割ります

log(a)/a = log(x)/x

（A)の式を微分、増減表を作成してグラフを書き、上の式と照らし合わせれば、aとxの値が決まります。

テキトーにしかやってませんが、(a,x) = (4,2) (2,4) (1,1)は見つけました。
まだあるかはわかりません。

(2)

前問(1)で増減表を書いて頂ければ分かると思いますが、式(A)はx=eの時最大になります。

よって、

f(e) > f(π)
log(e)/e > log(π)/π

両辺にeπをかけると

πlog(e) > elog(π)
log(e^π) > log(π^e)

よって、

e^π > π^e

よって、e^πの方が大きいということになります。

参考になれば幸いです。

お礼

シンプルでわかりやすくて、スッとしました。
解き方の方向性は合っていたのですが、グラフを描いてみたら納得しました。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

dy/dx = (1 - log x)/x^2 の符号を考えれば、
添付図のように y のグラフが描ける。

グラフより…

(1)
(log a)/a = (log x)/x となる実数 x は、
　0 < a ≦ 1 or a = e のとき、x = a の１個だけ
　1 < a < e or e < a のとき、x = a ともう 1 個、計 2 個
であることが解る。（lim[x→∞] (log x)/x = +0 だから）

よって、
x を正の整数に限ると、2 個の x を持つ a は
1 < a < e と e < a の範囲にそれぞれ可算無限個ある。
a = 1 に対しては、x = 1 の 1 個。
それ以外の正数 a では、整数の x は 0 個である。

(2)
(log e)/e > (log π)/π より、
e^π > π^e が従う。

お礼

回答方法もわかりやすくありがとうございました。
直線f(x)=ｌｏｇ(ａ)/aの範囲が0=<ｆ(x)<=1/eであることをはっきり書いていただけると早く理解できたと思います。頭が鈍くてすみません。
非常に参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22_

(1)
a^x=x^a
a>0,x>0なので両辺の対数をとって
　xlog(a)=alog(x)
　log(x)/x=log(a)/a
　log(x^(1/x))=log(a^(1/a))
　x^(1/x)=a^(1/a)…(A)
これを満たす正整数の個数を考えれば良い（問題と等価）。

y=x^(1/x) (x>0)…(B)のグラフを考えると
　グラフは添付図のようになります。
　0＜x＜1のとき 0＜y＜1（単調増加関数）
x=1のとき　y=1
1＜x＜e(≒2.718)のとき 1＜y＜e^(1/e)　（単調増加関数）
　x=eのとき　yは極大値e^(1/e)(≒1.44467)
e＜xのとき e^(1/e)＞y＞1 (単調減少関数)
　lim(x→∞) x^(1/x)=1

x＞0の範囲で　0＜y≦e^(1/e)(≒1.44467)です。

本題に入って、グラフから
y=k=a^(1/a) (a>0,k>0)と(B)との交点数、すなわち(A)を満たすxの個数は以下の通り。
0＜k≦1(0＜a≦1)のとき　交点数は1個のみ。
　　x^(1/x)=a^(1/a)を満たす正整数xは x=1(=a)のみ存在。
1＜k＜e^(1/e)(≒1.44467)(1＜a＜e,a＞e)のとき 交点数は2個。
　　x^(1/x)=a^(1/a)を満たす正整数xは
　　　x=2とx=4の2個のみ存在(a=2または4)
k=e^(1/e)(a=e)のとき 交点数は1個のみ存在。x=a=e。
　　x^(1/x)=a^(1/a)を満たす正整数xは 0個（存在しない）。
k＞e^(1/e)のとき　交点数は0個（交点は存在しない）。

となります。

以上から問題の方程式を満たす正整数解は
　「x=1,2,4の3個のみ」となります。

(2)
e^π>0,π^e >0 なので
y=(e^x)/(x^e) (x>e)を考えると
y'=(e^x)(x^e){x-e}/{x^(2e+1)}>0
yはx>eで単調増加関数。
x=eでy=1なので x>eで　y>1
したがって
x=π(=3.14…)＞e(=2.718…)のとき　y=(e^x)/(x^e)=(e^π)/(π^e)＞1
∴e^π>π^e

お礼

頭が悪いせいか、答えを理解するのに時間がかかりました。
ハイレベルな回答方法も理解できました。
ありがとうございました

回答No.1

alice_44

a^x=x^a　⇔　(log a)/a=(log x)/x　ですから、
y = (log x)/x　のグラフの概形が解れば、解 x の個数が判ります。
dy/dx = (1 - log x)/x^2　から増減表を書いてみれば、解りますね。

お礼

答えを導くのに数式だけで追いかけていて、グラフを描くことを忘れていました。
グラフを見て理解しました。ヒントは非常に参考になりました。
ありがとうございました