不等式の問題

質問

・不等式x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数ｘが存在しないようなaの範囲を求めよ。
という問題なのですが、全く手がつきません・・泣。

ヒントだけでもよいのでアドバイスお願いしますm（__）m

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

ヒントだけでも、とおっしゃるので、ではヒントだけ。

因数分解できます。
片方は（ｘ－１）です。
因数分解できれば不等式は解けます。

ａで範囲を示す。（場合わけが必要かな）

もっと違うほうから攻めれば、
片方がｘ＝１なんだから
ｘ＝０とかｘ＝２で　（左辺）＜０　が成り立たなければＯＫです。

お礼

因数分解ですかーちょっと今から考えてみます。

どうもありがとうございます！

補足

やってみました。

（x-1）・（x-a^2+2a）<0
（x-1）・[x-（a^2-2a）]<0・・・(1)
(1)が解を持ってはいけないという風に持っていきたいのですが、ここで手が止まってしまいます・・。
よかったらもうちょっとヒントをお願いしますm（__）m

回答No.6

eatern27

f(x)=x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a
がx=0、x=2の時に0以上になればいいので、
f(0)=a^2-2a≧0
f(2)=-a^2+2a+2≧0
の共通部分が答えだと思います。

お礼

どうやら、そのようですね。
どうもありがとうございました！

回答No.5

fushigichan

stripeさん、こんにちは。
因数分解というヒントは出ているようですが、ちょっとややこしそうなので
もうちょっと、ヒントを・・・

＞不等式x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数ｘが存在しないようなaの範囲を求めよ。

この不等式を因数分解すると、
(x-1){x-(a^2-2a)}<0　・・・・・・・（★）
となることは、いいでしょうか？
--------------------------------------------------------------------
ここで、不等式(x-p)(x-q)<0の解を考えてみると、これは
p<q　という条件のもとでは、　p<x<q　という解になりますよね？
そこで、（★）の式を、場合わけして、ｘの範囲を考えればいいのです！
--------------------------------------------------------------------
（★）の解は、１とa^2-2a　ですから、この大小によって場合わけすればよい。

１）1<a^2-2aのとき、
　　すなわち、a^2-2a-1>0のとき。つまりa<1-√2,1+√2<a　のとき

　　ｘの範囲は、（★）より
　　1<x<a^2-2a　・・・・・（あ）
　　ここで、ｘが整数解を持たないためには、（あ）において、a^2-2aが
　　２以下であればいいことが分かると思います。
　　したがって、a^2-2a≦２
　　これを解いて、また１）の条件にあてはまるaの範囲を出してみてください。

２）1=a^2-2aのとき
　　このとき、（★）は
　　(x-1)^2<0
となり、このような実数ｘは存在しないので、この場合は不適。

３）a^2-2a<1　のとき
　　すなわち、1-√2<a<1+√2　のとき

　　（★）の解のｘの範囲は、
　　a^2-2a<x<1　・・・・・（い）
　　このような整数解ｘが存在しないためには、
　　0≦a^2-2a
　　であればいいですね。これを解いて、３）にあてはまるようなaの範囲を出せばいいのです。

場合わけがややこしいと思いますが、一つ一つ場合わけして、頑張って解いてみてください！！

お礼

fushigichanさんこんにちは！いつもお世話になります・・m（__）m

しまった・・場合分けはもうちょっと考えればできたかもしれなかったです。
整数解というのは場合分けした後、使うんですね。

丁寧で詳しい説明どうもありがとうございます。
今からやってみたいと思います。

回答No.4

Largo_sp

(1)がでたら殆どとけているのに...
解はできればいいんですよ...
その解がポイントになるのですから....
もうひとつヒントは「整数」で無ければ問題なし......

補足

頑張ってみます!!

回答No.2

stone_wash

ヒントから考えましょう。

・まず、不等式といえど、グラフの考えでいけます。
(与式)=f(x)=x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a
と置きます。
x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数がない。
ということは、f(x)のグラフが、X軸(Y=0)より上にこればf(x)が負になりません。（わかりにくい文ですみません。）

ということは、f(x)がX軸(Y=0)より上にこればよいのです。これを利用するときかた。

・他は、(与式)=0とおいて、解無しのときの条件を、判別式を用いて考えるのでしょうね。

補足

どうもありがとうございます。

＞f(x)のグラフが、X軸(Y=0)より上にこればf(x)が負になりません。
この方面からがんばったんですが、判別式を使うとa^4の項がでてきてしまい、因数定理を使っても0になるｘの値がみつからなくて、断念してしまいました。
でも、この考え方でよいのでしょうか？

回答No.1

0shiete

x^2-(a-1)^2x+(a-1)^2-1<0
に変形できます。

お礼

どうもありがとうございます。
その方面からやってみます。