不等式

質問

２つの不等式｜x＋1｜＜2,｜xー2｜＞kをともに満たす整数xが一個だけ存在するように、正の定数kの値の範囲を定めよ。また、その時の整数xを求めよ。
という問題です。
解説の後半にー2＜2ーk≦ー1と書いてあるのですが、
なぜそうなるのか詳しく説明してほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

｜x＋1｜＜2 ...(1)
｜xー2｜＞k ...(2)

>解説の後半にー2＜2ーk≦ー1と書いてあるのですが、
>なぜそうなるのか詳しく説明してほしいです。

(1)より
-2<x+1<2　∴-3<x<1 ...(3)
(3)を満たす整数の候補は -2, -1, 0 の３個。
なので、xが整数なら　-2≦x≦0 ...(3)'

(3)より　x-2<0 なので(2)は
2-x>k　∴ x<2-k ...(4)

[解説]この条件でxの上限を制限して、xの整数候補が -2 のみとなるように
上限 2-k を決めてやります。 xの上限の範囲が-2以上-1未満であれば
xの整数値が -2　のみと決まる。

したがって(3),(4)を同時に満たす整数が１個のみとなるのは
-2≦x<-1 ...(5)
のときである。このときの整数は　x=-2　...(6)
(5)が成り立つための (4)の右辺の 2-k の範囲は
(4)の「 x<2-k」 の不等号に等号「=」が付いていないことに注意すれば
-2<2-k≦-1 ...(7)
となる。これを解いて
∴ 3≦k<4 ...(答1)
このときの整数値は(6)より
x=-2 ...(答2)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#212313

>｜x＋1｜＜2,｜xー2｜＞k

　絶対値を正負の場合に分けて、丹念に解いてみます。

　｜x＋1｜＜2　―(1)
　｜x－2｜＞k　―(2)

　kは2だけにあります。そこで、(1)について、まず求めてみます。

　まず不等式(1)から。x+1＞0なら絶対値記号をそのまま外せばいい。絶対値記号の中が正となる条件は以下のようになります。

　x+1＞0　∴x＞-1　―(3)

　これで、不等式(1)が成り立つようにするわけです。まず絶対値記号を外した不等式にします。絶対値記号の中が正の場合ですから、そのまま外します。

　x＋1＜2　∴x＜1　―(4)

　(3)の条件下で(4)も成り立たねばなりません。つまり、(3)かつ(4)ということです。

　-1＜x＜1　―(5)

　これがxを整数として成り立つなら一つだけしかありません。

　x＝0　―(6)

　同様に、(1)でx+1＜0なら正負を反転させて、絶対値記号を外せばいい。まず絶対値記号の中が負ということから以下のようになります。

　x+1＜0　∴x＜-1　―(7)

　(1)の絶対値記号の中が負の場合を考えていますから、正負を反転させて絶対値記号を外します。

　-x-1＜2　∴-3＜x　―(8)

　（7)かつ(8)ですから、以下のようになります。

　-3＜x＜-1　―(9)

　これを満たす整数xも一つだけです。

　x＝-2　―(10)

　x＝0または-2、という条件が(1)から出てきました。それが(2)を満たせばよいのです。
　｜x－2｜＞k　―(2)　（再掲）

　x＝0のとき(2)の不等式左辺の中は-2で、絶対値記号がありますから2です。

　2＞k　―(11)

　kは正の定数ですから、

　0＜k＜2　―(12)

　次にx＝-2でも同様に(2)に代入してみます。

　4＞k　―(13)

　したがって、

１．0＜k＜2のとき、x＝0で不等式は成立する。
２．0＜k＜4のとき。x＝-2で不等式は成立する。

ということになります。ところが、上記１のkの条件は２のkの条件に含まれています。つまり、0＜k＜2のときは、x＝0とx＝2という二つの解が存在します。

　ということは、0＜k＜2という条件を除く必要があり、それは2≦kで表せます。それを使えば、x＝-2のみで不等式が成り立つことになります。

答：2≦k＜4のとき、x＝-2なる解が存在する。

P.S.

>解説の後半にー2＜2ーk≦ー1と書いてあるのですが、なぜそうなるのか詳しく説明してほしいです。

「ー2＜2ーk≦ー1」を変形すると、「2＞k-2≧1」→「3≦k＜4」となり、上で求めた「2≦k＜4」と一致しません。「ー2＜2ーk≦ー1」という条件をどう求め、どう使おうとしたのか、ちょっと分かりません。その不等式まで解説を読んでみれば、分かるかもしれません。私はよく計算ミスをするので、どこか間違えたかも。すみません。

お礼

ありがとうございました。