関数の極限の問題ですが

質問

解けないのでご教授お願いします。
lim[x→-∞]{(sqrt(x^2+x+1))-(sqrt(x^2-x+1))}です（sqrtは平方根）
よろしくお願いします。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

√(x^2+x+1)－√（x^2-x+1)　=　Aとおくと

Aに[√(x^2+x+1)＋√(x^2-x+1)]を掛けたあと、同じもので割ると、

　A

= [x^2+x+1 - (x^2-x+1)]/[√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]

= 2x/[√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]

= 2/[√(1 + 1/x + 1/x^2) + √(1 - 1/x + 1/x^2)]

いま、ｘ →-∞とすると、1/x→0、1/x^2→0となるから、上の式の分母は２に収束する。よって

ｘ→-∞のとき、A→１となる。

お礼

大変分かりやすい回答ありがとうございました。有理化のところで途中式を間違えていたから解けなかったようです。他の回答者様もありがとうございました。

回答No.2

spring135

lim[x→-∞]{(sqrt(x^2+x+1))-(sqrt(x^2-x+1))}
=lim[x→-∞]{(sqrt(x^2+x+1))+(sqrt(x^2-x+1))}/(sqrt(x^2+x+1)^2-(sqrt(x^2-x+1)^2)
=lim[x→-∞]{(sqrt(x^2+x+1))+(sqrt(x^2-x+1))}/(2x)
=lim[x→-∞]{(sqrt(x^(-2)+x^(-1)+1))+(sqrt(x^(-2)-x^(-1)+1))}
=2

回答No.1

nag0720

{(sqrt(x^2+x+1))-(sqrt(x^2-x+1))} / 1

とみなして分子を有理化する。