極限値を求める問題です

質問

1)lim[x→-1] {(x^2 -x-2)/(x^3 +1)}

2)lim[x→0] {(2+x)^3 - (2-x)^3}/x

3)lim[x→0] {sqrt(1+x) - sqrt(1-x)}/x

回答No.1

gomagoma427

因数分解して問題のある部分を消してから計算します。

例えば（１）で分母が０になってしまうのは、

x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)

と、ｘが-1に近づくとき、x+1の部分が０に近づくためです。
x^2-x+1 の部分は３に近づくので大丈夫です。

これを消すために、分子も因数分解します。

x^2 -x-2　= (x+1)(x-2)

そうすると、分子・分母にx+1があるので打ち消しあって、

(x^2 -x-2)/(x^3 +1)　= (x-2)/(x^2-x+1)

となるので、これの極限を取って、つまり x=-1を代入して、

-3/3=-1

となります。

２、３についても同様です。

２は
A = 2+x
B = 2-x
とおくと、

A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)

と因数分解できます。

A - B = (2+x) - (2-x) = 2x

AB = (2+x) (2-x) = 4 - x^2

のように代入して整理すると、分子は
2x(12+x^2)
になると思います（計算間違いしてるかもしれないので自分で確認してください）。
分母のxと分子のｘを約分して、

2(12+x^2) のｘが０に近づく極限を求めると、答えは２４になるかと思います。

３は分子・分母に

√（1+x) + √（1-x)

をかけます。そうすると分子は２ｘになるので、分母のｘが消えて、結局

２/（√（1+x) + √（1-x)）　の極限を求める問題になり、答えは１です。