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積分できない!?
こんにちは、 積分を習っているんですが、なかなか解けません! 助けてください! 問題は Integral dx/sqrt(37+2x+x^2)です ちなみにSqrtは平方根です。 よろしくお願いします
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- alice_44
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←A No.5 No.2 は、間違っていません。
#2です。置換を間違えました。 sqrt(t^2+a^2)=u-t の置換でした。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
No.1 の置換を行うと、 与式 = ∫dy/√(1+y~2) となります。 置換を思いつく過程は、 No.2 にあるとおり。 右辺の積分は、公式集などに よく載っているでしょう。 やり方はいろいろありますが、 簡明なのは、y = iz と置換すること。 与式 = i∫dz/√(1-z~2) となります。 今度の右辺の積分は、 sin の逆関数の定義です。 最後に、オイラーの等式から導かれる sinθ = (1/i) sinh(iθ) を使って i を隠せば、 体裁も整います。
- info22_
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>Ln((sqrt(x^2+2x+37)+x+1)/6)+C >になったのですが、どうでしょうか。 で合っています。 これば =sinh^(-1)((x+1)/6)+C と同じです。 別解) y=x+1で置換積分して I=∫dy/√(y^2+36) さらに y=6sinh(x)で置換積分して I=∫dt=t+C =sinh^(-1)(y/6)+C =sinh^(-1)((x+1)/6)+C
ヒントです。 まず,根号の中を t^2+a^2 の形に変形する。 つぎに,t=atanθ と置換しましょう。 あとは,すっきり! 逆三角関数を用いて,書き直します。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
y = (x+1)/√36 で置換積分する。
補足
回答ありがとうございます! 答えとしては、 Ln((sqrt(x^2+2x+37)+x+1)/6)+C になったのですが、どうでしょうか。