数iiiの関数の極限の問題

質問

lim[x→-∞]｛√（x^2 +3x+2)+x｝です。答えは-３/2です

解答では、x=-tとおいて解くやり方は理解できますが、単純にxでっくくったら最後２xになり、結局-無限という答えにたどり着きましたが、不定形でもないし、この方法のどのところが間違っていたのかがさっぱりわかりません。

誰かご教授お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足について

>以下、lim[x→-∞]省略します。
↑これは意味があるので省略はダメです。
これがあることで、「xが負で、かつ |x| は非常に大きな値であることを意味します。

>（与式）＝lim[x→-∞]√｛x^2(1＋3/x+2/x^2)｝+x　...(1)
>＝lim[x→-∞]x√(1+3/x+2/x^2)+x ...(2)
>＝lim[x→-∞]x√{(1+3/x+2/x^2)+1} ,,,(3)

やっぱりA#1に書いた↓の間違いをやってますね。
>xで括った式を補足にお書き下さい。多分、√からxを括り出すところで間違ったと思われます。
>ルートの外には「x」(<0)ではなく「-x」(>0)で括り出す必要があります。

√｛x^2(1＋3/x+2/x^2)｝は正の値をとるので、x<0の時は　√(x^2) = -x (>0) とならないといけないです。（問題作成者の罠にまんまと引っかかりましたね！これで×になります。）
(1)→(2)は
　＝lim[x→-∞](-x)√(1+(3/x)+(2/x^2))+x ...(2)
とならないと、間違いになります。

(2)→(3)も間違ってる。どうしてこんな間違いをするんだろう。
　＝lim[x→-∞]　x{1-√(1+(3/x)+(2/x^2))} ...(3)

>単純にxでっくくったら最後２xになり、
ならないね。
　＝lim[x→-∞]　x{1-1} ...(4)
となるだろ。

>結局-無限という答えにたどり着きましたが、不定形でもないし、
「-∞×0」型の不定形になるだろ！
この不定形はA#1で書いた分子の有理化で解決できます。

>この方法のどのところが間違っていたのかがさっぱりわかりません。
(2)→(3)の式変形、ルートの外のxが何で(3)で√内に入ってしまっているのだろうか?
>＝lim[x→-∞]　x√{(1+3/x+2/x^2)+1}
正しく計算すれば
　=lim[x→-∞]　x[-√{(1+(3/x)+(2/x^2)}+1}
　=lim[x→-∞]　x[1-√{(1+(3/x)+(2/x^2)}}
↑は-∞×0型の不定形となる。
不定形でなくするには、A#1に書いたような　分子の有理化をすれば良いです。

お礼

info22_さん、こんなに詳しく解説していただいて本当にありがとうございます。何が間違いかがはっきりとわかりました。ルートについてまだ知らなかったことがあったなんて己の未熟さを思い知りました。
本当に感謝、感謝です！！！

回答No.1

info22_

>単純にxでっくくったら最後２xになり、結局-無限という答えにたどり着きましたが、不定形でもないし、この方法のどのところが間違っていたのかがさっぱりわかりません。

xで括った式を補足にお書き下さい。多分、√からxを括り出すところで間違ったと思われます。
ルートの外には「x」(<0)ではなく「-x」(>0)で括り出す必要があります。

[分子の有理化をする方法]

lim[x→-∞]｛√（x^2 +3x+2)+x｝
=lim[x→-∞]｛x+√（x^2 +3x+2)}{x-√（x^2 +3x+2)｝/{x-√（x^2 +3x+2)
=lim[x→-∞]｛x^2-(x^2 +3x+2)}/{x-√（x^2 +3x+2)
=lim[x→-∞] -(3x+2)/{x-√(x^2 +3x+2)
=lim[x→-∞] -x(3+(2/x))/{x-(-x)√{1 +(3/x)+(2/x^2)}
=lim[x→-∞] -(3+(2/x))/{1+1√{1 +(3/x)+(2/x^2)}
=lim[x→-∞] -(3-0)/{1+√(1-0+0)}
=-3/2

補足

以下、lim[x→-∞]省略します。

（与式）＝√｛x^2(1＋3/x+2/x^2)｝+x
＝x√(1+3/x+2/x^2)+x
＝x√{(1+3/x+2/x^2)+1}