極限を求める問題で・・・

質問

lim (1+1/x)^x = lim (1+x)^1/x = e
（最初のlimのしたはx→∞、次のはx→0）
というのがありますよね？
ちょっと思ったのですが、
lim (1-1/x)^x　という風に＋と－が入れ替わったら、どうなるのでしょうか？

lim (1-1/x)^x　= lim(1+(-1/x)^x =e^-1
とかならないんでしょうか？＾＾；

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

よく勉強していればわかることです。

lim (１－１/ｘ)^ｘ　
＝lim ｛(１－１/ｘ)^(－ｘ)｝^(－１)
－ｘ＝ｔとおく。
与式＝lim ｛(１＋１/ｔ)^(ｔ)｝^(－１)
　　＝ｅ^(－１)

以上！単なる式変形だな。

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.3

wolv

lim (1-1/x)^x
x→∞

lim (1-1/x)^x
x→-∞

は 1/e (=e^(-1))になるようです．

証明はできませんでしたが．（<-私の能力不足）
エクセルで

　　A B　　　　　C
1 　　1　　　　　　　　　　
2 =A1*2 =(1-1/A2)^A2　=1/B2
3 =A2*2 =(1-1/A3)^A3　=1/B3
：

というのを20行目までつくって計算したところ
C列がeに収束しそうになりました．

（10行目
　 512 0.367519891 2.720941162
　20行目
　 524288 0.36787909 2.718284421）

お礼

ご回答ありがとうございました！
エクセルで・・・。すごいですね＾＾；

回答No.2

echoes

あれ？それって教科書に書いてなかったですか？

　少し丁寧にやればｌｉｍは書かないことにして

(1-1/x)^x において、-x = t　と置換すれば　= (1+1/t)^-t = {(1+1/t)^t}^-1
= e^-1　となるです。

　あと、『（最初のlimのしたはx→∞、次のはx→0』とありますが、別にどっちでもいいですヨ。

　受験数学的に言うと、その手の極限の問題はよく出ます。
【例】f(x)=logx とするとき、lim(x→∞)x{f(x+1)-f(x)}を求めよ。

　とかって。

お礼

ご回答ありがとうございました！
教科書には書いてなかったもんで＾＾；