関数の極限

質問

関数の極限に関しての質問なのですが、
lim[x→0]√2-x - √2+x/xで、
lim[x→0](√2-x - √2+x)(√2-x + √2+x)/x(√2-x + √2+x)
=lim[x→0]-2x/x(√2-x + √2+x)
=lim[x→0]-2/x(√2-x + √2+x)
=-2/2√2
=- √2/2
の問題で、分子の(√2-x - √2+x)(√2-x + √2+x)から-2x、-2xから-2また、分母の√2-x + √2+x)から2√2になるかが分かりません。
分かる方は教えてほしいです。お願いします

回答No.1

sanori

こんばんは。

非常に見にくいのですが、
最初の式は、
与式　＝　lim[x→0]　｛√（２－ｘ）　－　√（２＋ｘ）｝　／　ｘ
でよろしいでしょうか？

｛√（２－ｘ）　－　√（２＋ｘ）｝　／　ｘ

（分子と分母に｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝をかけて）
　＝　｛√（２－ｘ）　－　√（２＋ｘ）｝｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝　／　［ｘ｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝］

（乗法公式　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝　ａ^2－ｂ^2　より、分子は簡単になる）
　＝　｛（２－ｘ）　－　（２＋ｘ） ｝　／　［ｘ｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝］
　＝　－２ｘ　／　［ｘ｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝］

（ｘで約分して）
　＝　－２　／　｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝

よって、
与式　＝　lim[x→0]　－２　／　｛√（２－ｘ）　＋　√（２＋ｘ）｝
　＝　－２　／　｛√（２－０）　＋　√（２＋０）｝
　＝　－２　／　（２√２）

お礼

詳しく書いてくださりありがとうございました。
今さっき自己解決しました。
明日（正式には今日）にテストがあるのでがんばりたいと思います。