平方根を含む極限の計算について教えてください

質問

lim_{x->0} {root(9+x)-3}/{root(9-x)-3}

の解き方を教えてください。
rootは平方根を表しています。

ただx=0とすると,間違いのようです。答えは-1になるはずです。

回答No.1

h_m_kiohsi · ベストアンサー

分母分子にに(√(9+x)+3)(√(9-x)+3)をかけます
分子=(9+x-9)(√(9-x)+3)=x(√(9-x)+3)
分母=(9-x-9)(√(9+x)+3)=-x(√(9+x)+3)
となります。これでxが消せます
あとは
lim(x→0){x(√(9-x)+3)/-x(√(9+x)+3)}=-1*(√9+3)/(√9+3)=-1

お礼

なるほど、ありがとうございます。

回答No.3

htms42

既に解答は出ています。
多分質問者様はややこしそうだなと思うでしょうね。
この問題限りの解法のテクニックのように思うかもしれませんね。

でもこの問題を近似式の立場で見てみると分母も分子も物理ではしょっちゅう出てくる式であることが分かります。
√(１＋α)　≒　１＋α／２　（α＜＜１）　　　式（１）
√(１+α)－１　≒　α／２　（α＜＜１）　　　　式（２）

問題文の式の分母、分子を３で割れば
分子は　α＝ｘ／９、分母は　α＝－ｘ／９の場合になっていることが分かります。
割り算をすれば－１が直ぐに出てきます。

式（１）を出すと直ぐに「微分」と発想する人も多いようです。
でも式（２）は有理化の操作だけでも出てくる表現です。
√(１＋α)－１＝α／（√(１＋α)＋１）≒　α／２　（α＜＜１の時）

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

回答No.2

info22_

分子および分母の有理化をして0/0型でないように変形すれば良いでしょう。
分子の有理化には分子分母に{root(9+x)+3}を掛けます。
分母の有理化には分子分母に{root(9-x)+3}を掛けてやります。

具体的には以下のように計算します。

>lim_{x->0} {root(9+x)-3}/{root(9-x)-3}
=lim_{x->0} [{root(9+x)-3}{root(9+x)+3}/{root(9+x)+3}]
*[{root(9-x)+3}/{root(9-x)+3}{root(9-x)-3}]
=lim_{x->0} [{(9+x)-9}/{root(9+x)+3}]
*[{root(9-x)+3}/{(9-x)-9}]
=lim_{x->0} [x/{root(9+x)+3}]
*[{root(9-x)+3}/(-x)]
=lim_{x->0} [-1/{root(9+x)+3}]
*{root(9-x)+3}
=[-1/{root(9+0)+3}]
*{root(9-0)+3}
=[-1/(3+3)]*{3+3}
=-(1/6)*6
=-1
となります。

お礼

0/0になるから変形するからなんですね。少し勘違いしてました。