高一数学(整数の性質)

質問

正の数aは４で割り切れまた５で割ると３余る
aは４で割り切れるからｋを用いて表すと
a=４ｋ(1)
またaは５で割ると３余るからｍを用いて
a=５ｍ＋３(2)
(1)(2)より４ｋ＝５ｍ＋３
変形して
４(ｋ－２)＝５(ｍ－１)
***ここまでわかるのですが次からわかりません

４と５の最大公約数は１であるから　ｋ－２　は
５で割り切れる
すなわちｋを５で割った余りは２
よってｋ＝５ｍ＋２

？どうして最大公約数が１であると５で割りきれると言えるのでしょうか、
　またｋを５で割るとどうして余りが２とわかるのでしょうか、
回答よろしくお願いします。

回答No.3

eco1900 · ベストアンサー

4（k－2）＝5（m－1）
↑
ここまでは、問題文の理屈も式の変形も理解していらっしゃるようですね^^。

左辺は、「4×～」の形をしているので「4の倍数」ということが一見して分かりますね。

同様にして・・・
右辺は、「5×～」の形をしているので「5の倍数」ということが一見して分かりますね。

これらが「等号（＝）で結ばれている」ということは、何を意味しているのでしょうか？
つまり、右辺を基準にして、左辺を考えてみると・・・

・右辺は「5の倍数」で、しかも「それが4（k－2）と等しい」ということは・・・
左辺の4（k－2）も「5の倍数」ということを意味しています。

・そのことを踏まえて、左辺の「4（k－2）」を眺めると・・・・前に付いている（かけられている）4は紛れもなく「5の倍数」とは言えませんね。

・となると、後者の（k－2）が「5の倍数」でなければ・・・等号（＝）で結ばれている意味が崩れてしまいます。従って、（k－2）が5の倍数（言い換えれば5で割り切れる）ことになるんですよ^^A。

こんな感じで分かっていただければ幸いです。
それじゃ頑張って^^A。

お礼

なるほど(゜_゜)
等号＝
の意味をもうちょっと考えるべきでした。
わかりやすい回答ありがとうございます。

回答No.2

wild_kit

これ実際に数字を入れて確かめていますか？
４で割り切れて、５で割ると３余る正の数としてａ＝８とします。
８＝４ｋ　ｋ＝２
８＝５ｍ＋３　ｍ＝１
５ｍ＋２＝７
したがってｋ＝５ｍ＋２とはなりません。
（ｋ－２）が５の倍数なので、ｋ＝５ｘ＋２なら分かります。

お礼

とりあえず数を入れてみるっていう手もあるんですね。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

当然理屈はあるんだが, とりあえず
5 で割りきれなかったらどうなのか
を考えてみたら?

お礼

わかりました。
ありがとうございます。