高校数学；数と式とその論証

質問

任意の正の数 a, b に対して、つねに
√a+√b≦k√(a+b)
が成り立つような実数kの最小値を求める。

これを同値変形して k≧(√a+√b)/√(a+b) (>0)
二乗して k^2≧1+2√ab/a+b (=I とおく) を得ます。

ここで私は"kの最小値"を求めるために　"Iの最小値"を目指しました。
しかし、解答では"Iの最大値"を求め、"kの最小値"としています。

なぜ Iの最大値も求めたのでしょうか。
回答おねがいします。

回答No.3

aries_1 · ベストアンサー

Iの最大値をI(max)とします。
k`2≧Iが常に成り立つには、Iがとり得る全ての値がk`2と同じか、それよりも小さいことが絶対条件になります。
ということは、Iのとり得る値の中で一番大きいI(max)が、k`2≧I(max)を満たせば、おのずとk`2≧Iが示せたことになります。

分からなければ、例を挙げて考えてみます。
仮にIが1～100までの自然数だったとします。
この時、k`2≧100となれば、
k`2は100より大きい
⇔k`2は99より大きい
⇔k`2は98より大きい
⇔…
⇔k`2は2より大きい⇔k`2は1より大きい
というように芋づる式にk`2≧100⇔k`2≧Iであることが求められます。

仮にIの最小値を求めてしまうと、Iがどんどん大きくなっていっても絶対にk`2を超えないということが保障できず、条件不十分で不正解になります。
よってこの問題では、Iの最小値は求める必要はありません。

お礼

k`2≧Iが常に成り立つ　という制約を度外視して考えていました；
これじゃあおかしなことを考えてしまうのも当然です。

＞Iのとり得る値の中で一番大きいI(max)が、k`2≧I(max)を満たせば、おのずとk`2≧Iが示せたことになります。

明確でわかりやすい回答 ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

「Iの最大値『も』求め」たんじゃないです. k の最小値を求めるためには, 「Iの最大値『を』求め」ないとだめなんです.

今の場合 a と b の比だけが重要なので x = b/a とすると, 「任意の正の数 x に対し常に k^2 ≧ 1 + 2(√x)/(1+x) を満たす (正の) 実数 k の最小値」を求めるんだよね. あなたはなぜこの右辺の最小値を目指したんでしょうか?

いや, 不等号じゃなくて等号なら当然最小値を考えるんだけど....

お礼

＞不等号じゃなくて等号なら当然最小値を考えるんだけど

本当にその通りです。
思い違いも甚だしいですね；

わざわざ回答ありがとうございました。。

回答No.1

mister_moonlight

＞k^2≧1+2√ab/a+b (=I とおく) を得ます。
＞なぜ なぜ Iの最大値も求めたのでしょうか。

Iの最小値を求めても何の意味もない。
k^2が　常に　1+2√ab/a+b より大きい、という事は、k^2は　1+2√ab/a+b の最大値より大きければ良い。
等号が成立しているから、I の最大値が　k^2の最小値になっている。

お礼

回答ありがとうございます。

>k^2が　常に　1+2√ab/a+b より大きい、という事は、k^2は　1+2√ab/a+b の最大値より大きければ良い。

この一文でピンときました；
なにやら、おかしなことを考えていたようです。
ありがとうございます。