cos2xのマクローリン展開について

質問

cos2xをマクローリン展開したときにできる級数はn→∞のとき収束しますか?

回答No.3

akinomyoga

No2 追記: 先ほどわからないと書きましたが cos(2x) は条件を満たさないことが示せました(多分…またミスがあるかも)。

**証明**
No.1 にあるようにcos(2x) は絶対収束可能ということがわかっているので
　R[2n] = Σ[k=n→∞] (-1)^k (2x)^2k / (2k)! 絶対収束,
　ただし […] は下付き.
ここで、n > max I の場合を考えると、上記級数は交代級数かつ各項の絶対値は単調減少なので、上記級数の項を2項ずつペアにすれば各項の符号は全て同じになる (正項級数または(-1)×正項級数になる)。従って、初項と第2項を取り出して、
　|R[2n]|
　　≧ |(-1)ⁿ (2x)²ⁿ / (2n)! - (-1)ⁿ⁺¹ (2x)²ⁿ⁺² / (2n+2)!|
　　= ((2x)²ⁿ / (2n)!)・|1 - (2x)²/(2n+1)(2n+2)|.
よって、
　|f⁽²ⁿ⁾(θx)| = |R[2n] (2n)!/x²ⁿ|
　　≧ 2²ⁿ・|1 - (2x)²/(2n+1)(2n+2)| →∞, (n→∞)
となるので |f⁽²ⁿ⁾(θx)| は有界ではない■。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

akinomyoga

> |a[n+1]/a[n]|=1/2(n+1)(2n+1)→0, (n→∞)
> の間違いではありませんか?

すみません…。仰るとおりです…。

> 一般に関数f(x)において,x=0を含む区間Iで(中略)
> という定理が手元の本に記載されているのですが,これをcos2xは満たせますか?

すみません…ちょっと考えて見ましたがわかりません。マクローリンの定理では「θが0<θ<1に存在する」ということしか述べていなくてそれが具体的に x の関数としてどう書かれるかについては与えられないので難しいです。雰囲気的に満たさないような気がしますが…。

あと、わかっていらっしゃるかもしれませんが: "(∃K>0, ∀n∈N, ∀x∈I, |f^(n)(θx)|≦K) ならばマクローリン展開可能" というのは "∃K>0, ∀n∈N, ∀x∈I, |f^(n)(θx)|≦K" でない時については何も言及していないので、その場合には展開可能でも展開不可能でも問題ありません。

回答No.1

akinomyoga

cos2x
　= Σ[n=0→∞] (-1)^n (2x)^(2n) / (2n)!
　= Σ[n=0→∞] a[n] ((2x)²)^n, ただし a[n] = (-1)^n / (2n)!
なので、これを (2x)² の級数と見れば
　|a[n+1]/a[n]| = 1 / 2(n+1) → 0, (n→0)
となるので収束半径無限大で(つまり x 全体で)絶対収束します。

補足

|a[n+1]/a[n]|=1/2(n+1)(2n+1)→0, (n→∞)
の間違いではありませんか?

またもう一つ質問があります。
一般に関数f(x)において,x=0を含む区間Iでマクローリンの定理を用いたときの剰余項Rn=f^(n)(θx)x^n/n!, (0<θ<1)について,
　|f^(n)(θx)|≦K
を満たす定数K(n,xによらない)が存在するとき,f(x)は区間Iでマクローリン展開可能である
という定理が手元の本に記載されているのですが,これをcos2xは満たせますか?