摩擦力があるときのポテンシャルエネルギーの変化

質問

下記の問題についての疑問をどなたかご教授ください。

設問
2箇所の軸受けで水平に笹井られた剛体とみなせる回転軸に，図に示すように弾性体と均質な材質でできた剛体とみなせる円錐台（下底の半径がR1、上底の半径がR2（0<R1<R2）、高さがL）が固定されている。回転軸の質量は無視することができ、その中心線はz軸にとる。更に回転軸からの距離をrとし、回転角θをθ=0、πの面が水平となるように定義する。円錐台は中心軸（上底と下底の円の中心を通る軸）周りの回転運動のみ可能であり、弾性体の一端は壁に固定され動かないものとする。今円錐台を角度θだけ回転させると、円錐台には弾性体によりTs=-Kθ(Kは正数)というトルクが加わる。また、軸受には摩擦があり、Tb =-Bdθ/dt(Bは正数)というトルクが発生する。円錐台の中心軸の慣性モーメントをJとして以下の問に答えなさい。

(1) 円錐台が回転しないよう固定し、図(a)に示すように円錐台側面のθ=0、r=Rである点に質点とみなせる質量Mの重りをつけた。円錐台の固定を外してゆっくりと回転させると、図(b)に示すようにθoだけ回転して停止した。円錐台がθoだけ回転した際に重りが失った位置エネルギーをEp、弾性体に蓄積された弾性エネルギーをEsとする。重りを上底側(R=R2)に設置する場合と下底側(R=R1)に設置する場合におけるEs/Epの値を比較し、どちらの値が大きいか理由をつけて答えよ。ただし必要であれば0<θ<π/2において0<d(θ/cosθ)/dθ、d(θcosθ/sinθ)/dθ<0であることを用いてもよい。

(2) 時刻t=0で重りを外した。θ(0)= θo、B^2<4JKとしてθ(t)(0<=t)を表す式をB,J,K, θoを用いて表せ。

疑問
(1)ですが，弾性エネルギー・位置エネルギーともに変位に依存する値だから，素人見解ではEp＝Esのように思えるのですが，摩擦力をどこで考慮すればいいのかがわかりません。

(2)は解法の筋道自体が思い浮かびませんでした。解法の指針を教えて下さいませんか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>(1)ですが，弾性エネルギー・位置エネルギーともに変位に依存する値だから，素人見解ではEp＝Esのように思えるのですが，摩擦力をどこで考慮すればいいのかがわかりません。

摩擦に伴うエネルギーの散逸があるため、力学的エネルギーは保存しません。
よってEpとEsの大きさは異なります(Ep>Esとなります。)

釣り合いの位置はトルクのバランスによってきまります。
つまり、

弾性体がθ=0に戻ろうとするトルクの大きさ=重りに働く重力により発生するトルク

となるθoで止まります。
静止する位置が重りに働く重力により発生するトルクにのみ依存するため。摩擦による影響を直接計算せずに、静止状態での弾性体のエネルギーと重りの位置エネルギーの変化を計算することが可能です。

>(2)は解法の筋道自体が思い浮かびませんでした。解法の指針を教えて下さいませんか？

円錐台の慣性モーメントをI,弾性体から受けるトルクをT1,軸受けの摩擦のトルクをT２とすると

T1+T2=I*d^2θ/dt^2

となります。T1,T2をθの式で表し、得られた微分方程式を解けばよい。