力学的エネルギーの保存

質問

下図のように、水平右向きに一定の速さVで動く十分長いベルトがある。このベルトの上に質量mの小物体Aをのせる。Aとベルトの静止摩擦係数をμ0,動摩擦係数をμ(μ<μ0)とし、重力加速度の大きさをgとする。
Aにばね定数kの質量の無視できるばねの一端をつなぎ、ばねの他端を壁に固定する。ばねは常に水平な状態を保つものとし、水平右向きにx軸をとる。Aを原点Oでベルトの上に乗せて静かに手を離すと、Aは静止したままであった。このときのばねの伸びはμ0mg/kである。
また、下図においてAが原点で静止しているとき、Aに水平右向きの初速Vを与えると、はじめAはベルトとともに動いたが、x座標がmg(μ0-μ)/kの位置をこえると、Aはベルトに対して滑リ始めた。Aが水平左向きに動き出したときのx座標を求めよ。

解答では単振動の位置エネルギーを用いた力学的エネルギー保存則より、求めるx座標をaとして、(mV^2)/2+k{mg(μ0-μ)/k}^2/2=(ka^2)/2　という式から求めていたのですが、単振動の位置エネルギーを用いた力学的エネルギー保存則（（運動エネルギー）＋（ばねの振動中心からの弾性エネルギー）＝ 一定という関係）は、ばねによる弾性力のほかにどんな力が働いていても（この問題では摩擦力）成り立つのですか？

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

何度もすいません．#1です．
時間のない時に慌ててやるとろくなことがないと言う見本になってしまいました．
こういう時に限って他の方の回答もつかないと言う・・・(愚痴)

#1～#4はすべて破棄して仕切り直します．これで最後です．多分・・・

1. 物体が静止している場合

動摩擦力とバネの力がつりあっているので，kl = μmgよりバネの伸びが

l = μmg/k

ここを原点とする．

2. 初速Vを与えてベルトと同じ速さで滑らずに移動している場合
静止摩擦力はバネの力と常につりあうように自然に調整され，等速で移動．
静止摩擦力のした仕事はすべてバネのエネルギーの増加分としてたくわえられる．

3. 物体がベルトを滑りはじめる位置
バネの力に等しい静止摩擦力が静止最大摩擦力に達したところなので，このときのバネの伸びl0はkl0 = μ0 mg より

l0 = μ0 mg/k

この座標をa0とすると

a0 = l0 - l = (mg/k)(μ0 - μ)

４．滑りはじめてから静止するまで
初速Vで運動方向とは逆向きに[バネの力－動摩擦力]を受ける加速度運動でエネルギー保存則は

(運動エネルギーの変化分)＝(その間になされた仕事)

物体が静止して左向きに反転する時の座標をaとすると伸びはl+aなので滑り出してから静止するまでにバネにたくわえられたエネルギーは

ΔU(バネ) = (1/2) k (l+a)^2 - (1/2) k l0^2

で，仕事はこれの符号を変えたもので

W(バネ) = (1/2) k l0^2 - (1/2) k (l+a)^2

動摩擦による仕事は力の方向に座標でa0=l0-lからaまで動いているので

W(動摩擦) = +μmg (a-[l0-l]) = +μmg (l+a-l0)

以上よりエネルギーの保存は

0 - (1/2)mV^2 = (1/2) k l0^2 - (1/2) k (l+a)^2 + μmg (l+a-l0)

整理すると

(1/2)mV^2 + (1/2) k l0^2 = (1/2) k (l+a)^2 - μmg (l+a-l0)

μmg = klという関係があるので，これを使うと

＞(mV^2)/2+k{mg(μ0-μ)/k}^2/2=(ka^2)/2　

をl, l0を使って書き直した

(1/2)mV^2 + (1/2) k (l0-l)^2 = (1/2) k a^2

になります．ということで，結果として

＞(mV^2)/2+k{mg(μ0-μ)/k}^2/2=(ka^2)/2　

という式にはなりますが，k{mg(μ0-μ)/k}^2/2, (ka^2)/2がそれぞれバネのエネルギーをあらわしているというわけではありません．

回答No.4

hitokotonusi

#1です．再度申し訳ありません．どうも頭が回っていないようで

>エネルギー保存については

以下は忘れてください．

反転するまでは等速で動いているのでそもそもエネルギー保存則を使う問題ではないです．

回答No.3

hitokotonusi

#1です．訂正板です．

＞求めるx座標をaとして、(mV^2)/2+k{mg(μ0-μ)/k}^2/2=(ka^2)/2　

という式がおかしいということと，座標と伸びが混乱しているようだということは同じで，

最初の静止していた時のバネの伸び l = μmg/k
静止摩擦に打ち勝って左に反転する時のバネの伸び l0 = μ0 mg/k

という定義もそのまま使います．

＞Aが水平左向きに動き出したときのx座標を求めよ。

を解答すればいいだけであれば，ここまでですでに答えは出ていて，

a = l0 - l = (mg/k)(μ0-μ)

です．

エネルギー保存については,摩擦力のような非保存力が働いている場合，

(運動エネルギーの変化分)＝(その間になされた仕事)

という形になりますので，左辺をΔKとすると速さVから左向きに反転する瞬間に速さ0になるので

ΔK = 0 - (1/2)mV^2 = -(1/2)mV^2

右辺の仕事は摩擦力fとバネによる仕事があるので

W(摩擦力)＝∫f v dt
W(バネ)= ∫[l->l0] (-kx)dx = -(1/2)k [ l0^2 - l^2]

でエネルギー保存則は

-(1/2)mV^2 = W(摩擦力) -(1/2)k [ l0^2 - l^2]

これより

W(摩擦力) = (1/2)mV^2 -(1/2)k [ l0^2 - l^2]
　　　　　= [ (1/2)mV^2 + (1/2)kl^2] - [ (1/2)k l0^2 ]

となり，力学的エネルギーの差の分だけ摩擦力のした仕事があります．
ここの摩擦力fは静止摩擦であるので積分の実行ができず，
力学的エネルギーの差から求める量となります．

ここでW(摩擦力)として失われた力学的エネルギーは，物体から受ける摩擦力に逆らってベルトを等速で動かすために使われているはずです．

回答No.2

hitokotonusi

#1です．すいません．

＞この場合は，摩擦力は働いていますが，

以下は取り消させてください．多分間違っています．
あわててさらに間違えてもいけませんので，
今は取り消しだけとさせていただきます．

回答No.1

hitokotonusi

状況の確認ですが

＞Aを原点Oでベルトの上に乗せて静かに手を離すと、Aは静止したままであった。

これは観測者から見て静止であり，ベルトの上を滑っている状態と言うことでいいですね？

＞Aに水平右向きの初速Vを与えると、はじめAはベルトとともに動いたが、

この初速Vはベルトの速さと同じで，ベルトに対して静止した状態で動いているということでいいですね？

以下これを前提に回答します．

物体が静止している場合，物体にはバネの力とベルトからの動摩擦力が働き，静止しているということはこの二つの力がつりあっているので，このときの伸びをlとすると

k l = μmg

これからこのときの伸びは

l = μmg / k

なので

>Aは静止したままであった。このときのばねの伸びはμ0mg/kである。

にでてくる摩擦係数は，滑っているので動摩擦係数μです．

＞ばねによる弾性力のほかにどんな力が働いていても（この問題では摩擦力）成り立つのですか？

この場合は，摩擦力は働いていますが，ベルトの上を滑ってはいないので摩擦力は仕事をしていません．なので成り立ちます．ただし，

＞求めるx座標をaとして、(mV^2)/2+k{mg(μ0-μ)/k}^2/2=(ka^2)/2　

という式は変です．どうも座標と伸びが混乱しているようですが，バネの位置エネルギは伸びの２乗に比例するのであって座標の二乗ではありません．簡略化のため

最初の静止していた時のバネの伸び l = μmg/k
静止摩擦に打ち勝って左に反転する時のバネの伸び l0 = μ0 mg/k

と定義します．l伸びたときが座標原点ですから，反転した時の座標はa = l0 - lです．

このlとl0を使うと，左向きに反転した時には速さが0ですから，エネルギー保存則は

(1/2)mV^2 + (1/2)kl^2 = 0 + (1/2)k(l0)^2

で，上の定義式を代入すれば

(1/2)mV^2 + (1/2)k(μmg/k)^2 = (1/2)k(μ0mg/k)^2 = (1/2)k(a + μmg/k)^2

です．