静電場のエネルギーの問題

質問

静電場のエネルギーの問題

球内に一様に分布する電荷による静電場のエネルギーの問題なのですが
U=(1/2)ε_o∫E^2d^3x ←公式 ｒは球の中心からの距離
このとき電場は中心まわりに球対称に分布しているので、体積積分は１重積分
U＝(1/2)ε_o∫E^2・4πr^2dr （積分区間０から∞）
に帰着すると教科書に書いてありました
d^3xと4πr^2drのところがどういう意味なのか、どういう関係なのかよくわかりません
まだ大学一年なので積分は習いかけです
ご回答お願いします

回答No.2

noname#160321 · ベストアンサー

>4πr^2といえば私には球の表面積と関係があるのかなと思いました。
そのまんまです。
原点から距離ｒの処にある厚さδｒで面積4πr^2の「薄皮」を重ね、limδｒ→０、条件下で薄皮を原点から無限遠まで(ｒ→∞)足し合わせると全空間になりますよね。

お礼

とても詳しい解説ありがとうございました
やっとすっきりしました

回答No.1

noname#160321

>d^3xと4πr^2dr
どちらも体積積分をしているだけ。
前者はdxdydzでも良いが、分布が等方的なのでdxで三回積分しています。
後者は極座標になっています。
体積の積分は高校の積分の範囲の筈ですよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
E^2・4πr^2drが中心からの距離がｒのところでのE^2に微小体積をかけたものだとわかりましたが、微小体積をどうして4πr^2drで書き表せるのか私が未熟なのでわかりません。もう少しだけ補足お願いします。4πr^2といえば私には球の表面積と関係があるのかなと思いました。