これって円錐じゃなんですか？

質問

これって円錐じゃなんですか？というような図形があり、なぜ台円錐にならないかまったくわからないので教えてください。

x,y,z軸(z軸は鉛直上向き)をとる。A(2,3,0)とB(1,1,1)も結ぶABをz軸周りに回転させたときに、z=0,z=1の間に出来る立体は台円錐ではない。もし台円錐なら、平面xzとの交線は直線になるが実際は双曲線である。

と書いてありました。直線じゃない理由もわかりません。これと同じ理由でも、違う理由でもかまいませんので、イメージがわきやすい台円錐ではない理由を教えてください。

よろしくお願いいたします。

回答No.9

noname#47975 · ベストアンサー

＞もし台円錐なら、平面xzとの交線は直線になるが実際は双曲線である。
と書いてありました。直線じゃない理由もわかりません。

線分は、点の集合です。線分上の各点がｚ軸周りを回転させると、
どのような軌跡を描くかをまず考えます。なおかつ、ｘｚ平面の
どの箇所を通るかを考え、次々にプロットして出来る点の集合
が双曲線になる事を確認すれば良いのです。

ここでは、簡単な例で説明します。

A(1,1,0),B(0,0,1)を取り、直線ＡＢをｚ軸周りを回転させます。
まず、直線ＡＢとz = k(0≦k≦1)との交点の座標は、
(1-k,k,k)であり、その点とｚ軸との距離は、√2k^2-2k+1となります。

ここで、交点とｚ軸とを結ぶ線分をｚ軸周りをｘｚ平面に接するまで
ｚ軸を中心に回転させます。そうするとこの時の座標は、
（√(2k^2-2k+1) ,0 ,k)となります。

すると、

x = √(2k^2-2k+1)
z = k

より、kを消去すれば以下の方程式が得られます。

2x^2 - 4(z - 1/2)^2 = 1

となり、これは双曲線を表す方程式であり、
直線にはなってませんね．．。

同様に、A(2,3,0)とB(1,1,1)のときもxz平面ではどのような点の
集合になっているか（軌跡）を確認してください。

回答No.8

banakona

ＡＢの中点は、２点の座標の平均で求めることができ、（3/2、２、1/2）となります（これをＣとします）。

もしも円錐台なら、ｚ軸からＣまでの距離も、Ａ、Ｂの距離の平均になっている筈です（円錐台をｚ軸を含む平面で切ると台形になることからも明らか）。

Ａからｚ軸までの距離　√（２^2＋３^2）＝√１３＝3.60555
Ｂからｚ軸までの距離　√（１^2＋１^2）＝√２＝1.414213
距離の平均　2.50988　・・・★

Ｃからｚ軸までの距離　√（（3/2)^2＋２^2）＝５／２＝2.500

で、★よりも少し小さいことが分かります。つまり「少しくびれている」。

だから円錐台ではない
で、どうでしょう？

回答No.7

ffffffff

紙と鉛筆での説明では、判らなかったということですので。
　円錐を用意してください。紙で簡易的に作ってもよい。一方を
すぼめてください。普通に丸めると円筒になります。
　円錐の斜面部分の面において、直線を描こうとすると、
円筒の底面から頂点に向かう垂直方向の直線上のみです。
この線上に、質問者さんの提示したA点とB点が存在すれば、
直線ABで作られる面は、円錐の斜面になります。
　しかし、質問者さんの提示したA点とB点はこの直線から、
それぞれ逆の方向にずれています。円錐面上のAB点間をなぞると、
円弧を描くと思います。この２点を直線で結ぼうとすると、
直線は、円錐の内部を通ることになります。
　この説明で、理解できないようでしたら、粘土で円錐を
作って、その円錐面上に、A、B点を置いて、針金（直線状
のもの）をA点からB点に向かって挿してみると、視覚的に
理解できるかもしれません。

回答No.6

YHU00444

面白そうなんでやってみました。
>線分ABの中点座標を　軸Zを中心に回転させた時の軌跡、
>円の半径の長さを求めてみては？

まず、点A,Bを結ぶ直線はパラメータをtとしてt*↑AB+↑OAと表せますから、パラメータ表示でP(-t+2,-2t+3,t)と表せます。
さて、ここで点Pのx,y座標を極座標r,θで表すことにしますと、r^2=x^2+y^2ですから、
r^2=(-t+2)^2+(-2t+3)^2
=(t^2-4t+4)+(4t^2-12t+9)
=5t^2-16t+13=5(t-8/5)^2+(10-1/5)…(a式)
tanθ=y/x=2t-3/t-2 ∴θ=tan^(-1)(2t-3/t-2)

ところで、z軸を中心にして回転させた図形が台円錐を表すのであれば、a式はr=az+b、すなわちr=αt+βの形になるはずです。
ところが、いまa式はr^2-k^2*T^2=const.と双曲線の形をしていますから、これが台円錐でないことは明らかでしょう。（おわり）

回答No.5

meli

No1です．
見れませんでしたか、すみません．
公開設定し忘れていました、
よろしかったらまたお試しください．

回答No.4

ffffffff

紙で円錐を作って、その上に鉛筆を置いてみると、理解できます。
　鉛筆を円錐の斜面の方向に沿って置くと、斜面との隙間ができま
せんが、回転してずらすと、１点で接するようになります。つまり、
線分ABは円錐の斜面より円錐内部に存在することになります。

お礼

いまいち解りません。鉛筆は角状のものでしょうか。それにしてもちょっと理解できません。身近でわかりやすい例なので、ぜひもう少し詳しくお願いいたします。

補足

ｐｓ

すみません。垂直な壁などにやっても同じだと思いますが。。。

回答No.3

kkkk2222

線織面

一葉双曲面

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~sakane/shudaibetu/hyperboloidonesheet1.html

お礼

ありがとうございます。これを見れば理解できますが。。。。

回答No.2

redowl

立方体を対角線を軸にして回転させた時のイメージに近い。

下記：いろいろな形を面・辺・頂点を中心に回転させてみよう＞画像の４番目
www.dougukan.com/dougu/cube-dancing.htm

線分ABの中点座標を　軸Zを中心に回転させた時の軌跡、
円の半径の長さを求めてみては？

回答No.1

meli

線ABが、回転させる軸に対して捩れているからでしょう．
3DCGソフトで作ってみました．
面が微妙に反っているのが判りますでしょうか?

http://photos.yahoo.co.jp/ph/d_tail1130/vwp?.dir=/3a36&.src=ph&.dnm=c3e8.jpg&.view=t&.done=http%3a//photos.yahoo.co.jp/ph/d_tail1130/lst%3f%26.dir=/3a36%26.src=ph%26.view=t

リンク長くてすいません

お礼

皆様ありがとうございます。ぜひ見てみたいのですが、見れませんでした。