指数不等式？

質問

3^n<24^18<3^（n+1）を満たす整数nを求めよ。
これは指数不等式ですが対数の知識を使って解くのでしょうか？どうやって解くのか分かりません。誰か教えてください。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

３を底とする対数をとると
ｎ＜１８ｌｏｇ２４＜ｎ＋１
ｌｏｇ２４＝ｌｏｇ３＋ｌｏｇ８
　　　　　＝１＋ｌｏｇ８
ｌｏｇ８≒１．８９３　なので
ｎ＜５２．０７＜ｎ＋１
ｎ＝５２

ｌｏｇ８の値を使うのは反則かも。問題で与えられてはいませんか？

回答No.5

alice_44

log_3(2) の値が与えられていないと、困りますね。
log 2, log 3 の値くらい覚えとけ…てのは、論外としても、
その場で近似値を作ることはできそうです。

2, 3 の冪をいくつか並べてみると
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, …
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …
これを眺めて、
2^8 = 256 > 243 = 3^5 より (log 2)/(log 3) < 5/8
2^11 = 2048 < 2187 = 3^7 より (log 2)/(log 3) < 7/11

これを使って
n < 18{1+3(log 2)/(log 3)} < n+1　と
51.75 < 18{1+3(log 2)/(log 3)} < 52.3636…　を比較すると、
n = 51 または 52 であることが判ります。
このくらいなら、試験中でも、用紙の余白でできるでしょう。

後は、3^n < 24^18 < 3^(n+1)　に戻って
51 がよいか、52 がよいか、確認すればよいかな。
使う冪を大きくして、log の近似を改善する手もあるけれど、
その方向であまり凝ってもしかたない気がするし。

回答No.4

178-tall

24 = 3*2^3 なので、24^18 = 3^18 * 2^54 ですね。
原式を 3^18 で割り、
　　3^(n-18) < 2^(54) < 3^(n-17)
あとは対数表など。

許容エラー 1% なら、
　　2^(16) ≒ 3^(10)
なる近似を使う手もあり。

2^(52) = 3^(54*10/16) ≒ 3^(33.7) なので、
　　3^(n-18) < 3^(34) < 3^(n-17)
　　3^(n) < 3^(52) < 3^(n+1)
…云々。

回答No.3

spring135

No2です。

ためしに

log2=0.3010
log3=0.4771

を使って計算してみたところ

18(1+3*log2/log3)=52.07

となりました。

よって正解は

n=52

です。

ここまで精度がいる問題は試験問題として適切かどうか疑問です。

回答No.2

spring135

＞これは指数不等式ですが対数の知識を使って解くのでしょうか

そのとおりですが、

3^n<24^18<3^（n+1）

の対数をとって考えるとき

x>0 のときaを底とするxの対数y=log(a)xはa>1のとき
xの単調増加関数になることを宣言しておく必要があります。
単調増加関数である限り不等式の大小関係は変わりません。

10を底とする対数をとると

nlog3<18log24<(n+1)log3

log24=log(3*8)=log3+3log2

よって

n<18(1+3log2/log3)<n+1

log2=0.3010
log3=0.4771

は暗記しておくべきです。

それを用いて(小数点以下2桁を使えばよいでしょう)

18(1+3log2/log3)=51.75

n<51.8<n+1

n=51