数列、不等式の問題を教えてください。

質問

数列、不等式の問題を教えてください。
数列｛x(k)｝が次のように定義されている

x(1)=0, k=1,2,3・・・に対して,x(n)=x(k)+1 (n=2kのとき)、x(k)+2 (n=2k+1のとき)

このとき、n=2,3,4・・・に対して、x(n)≦2log[2]n-1が成り立つことを示せ

という問題なんですが、帰納法？かと思うんですが上手くできません
対数の[]内は底を表しています

お願いします！

回答No.1

Dracky376B

(1) n=2, n=3 の時、
　x(2) = ??、x(3) = ??
よって、成り立つ。

(2) n=m の時、成り立つと仮定。

(a) n=2m の時、
　x(2m)=x(m)+1≦2log[2](m-1) +1 ＜ 2log[2](m-1) + 2log[2](2) = 2log[2](2m-2) ＜ 2log[2](2m-1)
　よって、x(2m) ≦ 2log[2]{(2m)-1} が成立。

(b) n=2m+1 の時
　※こちらは、応用で考えてみてください。
　よって、x(2m+1) ≦ 2log[2]{(2m+1)-1} が成立。

よって、2以上の任意の n について x(n) ≦ 2log[2](n-1) が成立する。（証明終わり）