極限について

質問

以下の極限をε-δ論法によって示したいのですが，証明法がわかりません．
ご教授お願いします．

（1）lim[∆t→0]∫[a→t] {(f(t+∆t,s)-f(t,s))/∆t} ds =∫[a→t] ∂f(t,s)/∂t ds
（2）lim[∆t→0]∫[t→t+Δt] {f(t+∆t,s)/∆t} ds = f(t,t)

ただし，f はC^1級で，aは定数です．（見づらいと思いますので，画像を参考にしてください）

出来るだけわかりやすく書いていただけると助かります．
よろしくお願いします．

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
∀ε>0
→∃n_0
(
∀n>n_0
↓
Δs=(t-a)/n
s_k=a+kΔs
|Σ_{k=1～n}{(f(t+Δt,s_k)-f(t,s_k))/Δt}Δs-∫_{a→t}{(f(t+Δt,s)-f(t,s))/Δt}ds|<ε/3
|Σ_{k=1～n}{∂f(t,s_k)/∂t}Δs-∫_{a→t}{∂f(t,s)/∂t}ds|<ε/3
)

ε/max(|t-a|,3)>0
→∃δ>0
(∀|Δt|<δ
→|{(f(t+Δt,s_k)-f(t,s_k))/Δt}-∂f(t,s_k)/∂t|<ε/max(|t-a|,3)
→|Σ_{k=1～n}[{(f(t+Δt,s_k)-f(t,s_k))/Δt}-{∂f(t,s_k)/∂t}]Δs|<ε/3

↓
|∫_{a→t}{(f(t+Δt,s)-f(t,s))/Δt}ds-∫_{a→t}{∂f(t,s)/∂t}ds|
≦
|∫_{a→t}{(f(t+Δt,s)-f(t,s))/Δt}ds-Σ_{k=1～n}{(f(t+Δt,s_k)-f(t,s_k))/Δt}Δs|
+|Σ_{k=1～n}[{(f(t+Δt,s_k)-f(t,s_k))/Δt}-{∂f(t,s_k)/∂t}]Δs|
+|Σ_{k=1～n}{∂f(t,s_k)/∂t}Δs-∫_{a→t}{∂f(t,s)/∂t}ds|
<ε

↓
lim_{Δt→0}∫_{a→t}{(f(t+Δt,s)-f(t,s))/Δt}ds
=∫_{a→t}{∂f(t,s)/∂t}ds

(2)
∀ε>0
→∃δ>0
(
∀|Δt|<δ
∀|Δu|<δ
→|f(t+Δt,t+Δu)-f(t,t)|<ε/2

→∃n_0
(
∀n>n_0
↓
Δs=Δt/n
s_k=t+kΔs
|Σ_{k=1～n}{f(t+Δt,s_k)/Δt}Δs-∫_{t→t+Δt}{f(t+Δt,s)/Δt}ds|<ε/2
|s_k-t|≦|Δt|<δ
|Σ_{k=1～n}{f(t+Δt,s_k)-f(t,t)}/n|<ε/2

|∫_{t→t+Δt}{f(t+Δt,s)/Δt}ds-f(t,t)|
≦
|∫_{t→t+Δt}{f(t+Δt,s)/Δt}ds-Σ_{k=1～n}{f(t+Δt,s_k)/Δt}Δs|
+|Σ_{k=1～n}{f(t+Δt,s_k)-f(t,t)}/n|
<ε

↓
lim_{Δt→0}∫_{t→t+Δt}{f(t+Δt,s)/Δt}ds=f(t,t)