極限の問題です。

質問

証明してください。

f(x)を微分可能な関数とする。ｃを定数とする。
f(c+h) - f(c) / h ≦ 0
ならば
lim[ h→0, h>0 ]{ f(c+h) - f(c) / h } ≦ 0

ロルの定理の証明のなかにでてきましたが、腑に落ちません。
よろしくおねがいします。

回答No.2

muturajcp

{f(c+h)-f(c)}/h≦0
lim_{h→+0}[{f(c+h)-f(c)}/h]=f'+(c)
とする
f'+(c)>0を仮定すると
f'+(c)>ε>0となるεが存在する
f(x)は微分可能だから
そのε>0に対して
あるδ>0が存在して
0<h<δとなる任意のhに対して
|[{f(c+h)-f(c)}/h]-f'+(c)|<ε
0<f'+(c)-ε<{f(c+h)-f(c)}/h≦0
0<0となって矛盾する
∴
f'+(c)=lim_{h→+0}[{f(c+h)-f(c)}/h]≦0

回答No.1

kabaokaba

はさみうちの原理に納得がいかないのですか？

極限が存在するときに
その極限が「ジャンプ」することには
違和感はないのですか？

どうであれば納得できるのですか？