極限値=0となる証明が簡単そうで出来ません

質問

t,s∈Cで0＜xの時,
lim_{t→s}∫_1^∞exp(-ux)|u^t-u^s|du=0が一見簡単そうでなかなか示せません。
図で見れば一目瞭然なのに(曲線がu軸にどんどん近づいていくので),
lim_{t→s}∫_1^∞exp(-ux)|u^t-u^s|du=∫_1^∞lim_{t→s}exp(-ux)|u^t-u^s|duと変形できる理由も分からないので困っております。
どうすれば証明できましょうか?

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

再再訂正します
s∈C
0<x
n=2+[|s|],([|s|]は|s|の整数部)
とすると
[|s|]≦|s|<[|s|]+1
1+[|s|]-|s|>0
だから
∀ε>0に対して
∃δ=min(εmin(1,x^{n+2}/(n+2)!),1+[|s|]-|s|)>0
∀t∈C,|t-s|<δ
1≦uのとき
0≦θ≦1があって
|u^t-u^s|
=|e^{tlogu}-e^{slogu}|
=|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
≦|t-s|u^{|t-s|+|s|+1}
≦|t-s|u^{δ+|s|+1}
≦|t-s|u^{1+[|s|]-|s|+|s|+1}
≦|t-s|u^{2+[|s|]}
≦|t-s|u^n
だから
∀K>1に対して
x>0,u≧1>0だから
e^{ux}≧[(ux)^{n+2}]/(n+2)!
e^{-ux}≦(n+2)!/(ux)^{n+2}
e^{-ux}(u^n)≦[(n+2)!/x^{n+2}](1/u^2)
だから
∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
≦|t-s|∫_{1～K}{(n+2)!/(x^{n+2})}(1/u^2)du
≦|t-s|(n+2)!/(x^{n+2})
≦δ(n+2)!/(x^{n+2})
≦ε
∴
lim_{t→s}∫_{1～∞}e^{-ux}|u^t-u^s|du=0

お礼

大変有難うございます。お陰様で漸く解決できました。m(_ _)m

回答No.3

muturajcp

再訂正します
s∈C
0<x
n=2+[4|s|],([4|s|]は4|s|の整数部)
とすると
∀ε>0に対して
∃δ=min(εmin(1,x^{n+2}/(n+2)!),1)
∀t∈C,|t-s|<δ
|t|<|s|+δ
|t-s|≦|t|+|s|<2|s|+δ<2|s|+1
1≦uのとき
0≦θ≦1があって
|u^t-u^s|
=|e^{tlogu}-e^{slogu}|
=|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
≦u^{|t-s|+|s|+1}
≦u^{|t|+|s|+|s|+1}
≦u^{3|s|+2}
≦u^{2+[4|s|]}
≦|t-s|u^n
だから
∀K>1に対して
x>0,u≧1>0だから
e^{ux}≧[(ux)^{n+2}]/(n+2)!
e^{-ux}≦(n+2)!/(ux)^{n+2}
e^{-ux}(u^n)≦[(n+2)!/x^{n+2}](1/u^2)
だから
∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
≦|t-s|∫_{1～K}{(n+2)!/(x^{n+2})}(1/u^2)du
≦|t-s|(n+2)!/(x^{n+2})
≦δ(n+2)!/(x^{n+2})
≦ε
∴
lim_{t→s}∫_{1～∞}e^{-ux}|u^t-u^s|du=0

回答No.2

muturajcp

s∈C
0<x
n=2+[4|s|],([4|s|]は4|s|の整数部)
とすると
∀ε>0に対して
∃δ=min(εmin(1,x^{n+2}),1)
∀t∈C,|t-s|<δ
|t|<|s|+δ
|t-s|≦|t|+|s|<2|s|+δ<2|s|+1
1≦uのとき
0≦θ≦1があって
|u^t-u^s|
=|e^{tlogu}-e^{slogu}|
=|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
≦u^{|t-s|+|s|+1}
≦u^{|t|+|s|+|s|+1}
≦u^{3|s|+2}
≦u^{2+[4|s|]}
≦|t-s|u^n
だから
∀K>1に対して
x>0,u≧1>0だから
e^{-ux}(u^n)≦1/(x^{n+2})}(1/u^2)
だから
∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
≦|t-s|∫_{1～K}{1/(x^{n+2})}(1/u^2)du
≦|t-s|/(x^{n+2})
≦δ/(x^{n+2})
≦ε
∴
lim_{t→s}∫_{1～∞}e^{-ux}|u^t-u^s|du=0

回答No.1

muturajcp

s∈C
0<x
n=1+[2|s|],([2|s|]は2|s|の整数部)
とすると
∀ε>0に対して
∃δ=εmin(1,x^{n+2})
∀t∈C,|t-s|<δ
1≦uのとき
0≦θ≦1があって
|u^t-u^s|
=|e^{tlogu}-e^{slogu}|
=|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
≦|t-s|u^n
だから
∀K>1に対して
∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
≦|t-s|∫_{1～K}{1/(x^{n+2})}(1/u^2)du
≦|t-s|/(x^{n+2})
≦δ/(x^{n+2})
≦ε
∴
lim_{t→s}∫_{1～∞}e^{-ux}|u^t-u^s|du=0

お礼

大変有難うございます。

> =|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
> ≦|t-s|u^n

すいません。ここの不等式の成立がどうしても分かりません。

|(logu)u^{s+(t-s)θ}|=|ln(u)||u^{θ(t-s)+s}|
=(ln(u))u^{Re(θ(t-s)+s)}
≦uu^{Re(θ(t-s)+s)} (∵(1,∞)ではln(u)<u)
=u^{Re(θ(t-s)+s)+1}
=u^{Re(θ(t-s))+Re(s)+1}
≦u^{|Re(θ(t-s))+Re(s)+1|} (∵u∈(1,∞))
≦u^{|Re(θ(t-s))|+|Re(s)|+|1|} (∵三角不等式)
≦u^{|Re(t-s)|+|Re(s)|+|1|} (∵θ∈(0,1))
≦u^{|t-s|+|Re(s)|+|1|} (∵Re(t-s)<|s-t|)
≦u^{|t-s|+|s|+|1|} (∵Re(s)<|s|)
とここまで来たのですがこれからどうすれば
≦u^{1+[2|s|]}
が言えるのでしょうか?

> だから
> ∀K>1に対して
> ∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
> ≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
> ≦|t-s|∫_{1～K}{1/(x^{n+2})}(1/u^2)du

ここも分かりません。
e^{-ux}(u^n)≦1/(x^{n+2})}(1/u^2)
もkやxの状況によっては
e^{-ux}(u^n)>1/(x^{n+2})}(1/u^2)
となったりすると思うのですが、、
どのようにしてこの不等式は示せるのでしょうか?