極限って

質問

極限とは何のためにあるのでしょうか？例えば lim(x→a)f(x)
です。よろしくお願いします。

回答No.2

sanori

こんばんは。

私も、微積分への応用が最も重要だと思います。
いわばそれは、「０÷０　という割り算を避ける」ということであり、
直線ではない（曲線の）グラフの１点における傾き（＝変化の割合＝接線の傾き）を求めることであります。

ｙ＝ｆ（ｘ）＝　２ｘ^2　＋　３ｘ　＋　４
は放物線（二次関数）ですから、曲線のグラフとなり、グラフ上のどの１点を取っても、傾きが異なります。
このような場合、
・ｘが１から２に増加したら、ｙはａだけ増加したので、変化の割合はａ／（２－１）です。
・ｘが１から３に増加したら、ｙはｂだけ増加したので、変化の割合はｂ／（３－１）です。
・ｘが１から１．５に増加したら、ｙはｃだけ増加したので、変化の割合はｃ／（１．５－１）です。
の、どれを取っても、正確にｘ＝１における傾きを求めることはできません。
ですから、ｘから「ほんのちょっとだけ増加」したときの、ｙの増加を求めることが必要になります。

そこで、極限の考え方が登場します。

ｙ＝ｆ（ｘ）＝　２ｘ^2　＋　３ｘ　＋　４
を例に取ります。
「ほんのちょっと」をｈと表記することにします。

ｆ（１）＝　２＋３＋４＝９

ｆ（１＋ｈ）＝　２（１＋ｈ）^2　＋　３（１＋ｈ）　＋　４
　＝　２（１＋２ｈ＋ｈ^2）＋３（１＋ｈ）　＋　４
　＝　９　＋　７ｈ　＋　２ｈ^2

ｘ＝１における傾きは
｛ｆ（１＋ｈ）－ｆ（１）｝／｛（１＋ｈ）－１｝
　＝　（７ｈ　＋　２ｈ^2）／ｈ
となりました。
ここが問題です。
（７ｈ　＋　２ｈ^2）／ｈ　はｈで約分できそうですが、
もしもｈが０だとすれば、約分はできません。
分子、分母、それぞれが０÷０になってしまうからです。
しかし、ｈは０ではなく「ほんのちょっと」なので、
lim h→0（７ｈ　＋　２ｈ^2）／ｈ
　＝　lim h→0（７　＋　２ｈ）
　＝　７　＋　２×０
　＝　７　（＝傾き）
というわけで、ｘ＝１における傾きを無事求めることができました。

任意のｘについて、同様のことをやりますと、
ｙ＝ｆ（ｘ）＝　２ｘ^2　＋　３ｘ　＋　４

ｆ（ｘ＋ｈ）＝　２（ｘ＋ｈ）^2　＋　３（ｘ＋ｈ）　＋　４
　＝　２ｘ^2 ＋　４ｘｈ　＋　２ｈ^2　＋　３ｘ　＋　３ｈ　＋　４
　＝　２ｘ^2　＋　３ｘ　＋　４　＋　ｈ（４ｘ＋３）　＋　２ｈ^2

傾き　＝　｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝／｛（ｘ＋ｈ）－ｘ｝
　＝　｛ｈ（４ｘ＋３）＋２ｈ^2 ｝／ｈ
ｈで約分
lim h→0 傾き　＝　（４ｘ＋３）＋２ｈ
　＝　４ｘ　＋　３

以上のことから、
ｙ＝２ｘ^2　＋　３ｘ　＋　４　の傾き（変化の割合）は　４ｘ　＋　３
ということになりました。
これが「微分」とか「導関数」とか名づけられたわけです。

回答No.1

my3027

極限は重要な概念で、微分も極限の概念から出来ました。
これ見たことありますか？

f'(x)=lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
=lim(h→0)){f(x+h)-f(x)}/h
これはグラフ上の曲線でいうと、yの変化量/xの変化量(接線）でそれを曲線状のある点について求めたものです。「点」について求める為に、すごく小さいxの変化量が必要なので、それに極限と言う概念を使います。