数学IIの問題がわかりません

質問

数学IIの問題で

次の不等式を証明せよ。等号が成り立つのはどのようなときか。

a,bが正のとき (a+b)(1/a+1/b)≧4

この問題の証明の仕方がよくわかりません。

回答よろしくお願いします！

回答No.1

raionzumanshon · ベストアンサー

まず展開します。

(a+b)(1/a+1/b)≧4
↓
1+a/b+b/a+1≧4
↓
a/b+b/a-2≧0

両辺にabを掛けます。条件よりa,bは正なので、ab>0となり不等号は変わりません。

a^2+b^2-2ab≧0

因数分解して

(a-b)^2≧0

つまり左辺は実数の２乗となり、これは０以上の数となります。
そして等号が成り立つのはa=bのときです。（証終）

回答No.10

kuma326

左辺ー右辺＝（a+b）（１/a+1/b)-4=(a+b)×（a＋ｂ）／（ａｂ）－４
　　　　　　　　＝（（ａ＋ｂ）＾２－４ａｂ）／ａｂ＝（ａ－ｂ）＾２／ab≧0　　（∵a>0,b>0)
等号はa=b のとき成立

回答No.9

noname#126309

情けないミス。
(a+b)(1/a+1/b)≧(a×1/a＋b×1/b)^2=4 (誤)

→(a+b)(1/a+1/b)≧(√a×1/√a＋√b×1/√b)^2=4

回答No.8

naniwacchi

#6です。

まずは、シンプルに回答していくことが大事だと思います。
その次に、拡張や一般化を考えていけばいいわけで。
いきなり、拡張から話を始めるとイメージもついていかないと思います。

いまの問題であれば、
・(左辺)-(右辺)≧ 0を示す方法か
・相加・相乗平均を使う方法

で示すのがシンプルであって、
その先に一般化されたような内容（シュワルツの不等式や 3項の積など）が出てくるのだと思います。

質問者さんはいろいろと出てきてしまって混乱しているかもしれませんが（すみません）、
シュワルツの不等式などは調べておくと後々役に立つと思います。

回答No.7

mister_moonlight

馬鹿な回答者がいるようだ。

この問題に限れば、展開して相加平均・相乗平均でも良い。
しかし、いつもそれで簡単にいくわけではない。
もう少し、大局的に考えられないのかな？
計算は出来るだけ簡単な方法が、賢明といえる。

この問題を拡張した次の問題ならどうするか。もちろん、展開しても出来るが。

a＞0、b＞0、c＞0の時
(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)≧9　を証明せよ。又、等号が成立する時は、どのような時か。

回答No.6

naniwacchi

#3です。

うーん、なぜか小難しい方へいってしまいますね・・・

(左辺)
＝ 1+ a/b+ b/a+ 1
＝ 2+ a/b+ b/a

a＞ 0, b＞ 0より a/b＞ 0, b/a＞ 0であるから相加・相乗平均の関係より
(a/b+ b/a)/2≧ √(a/b* b/a)＝ 1
∴ a/b+ b/a≧ 2

よって、
(左辺)＝ 2+ a/b+ b/a≧ 4

「逆数の和」が出てきているところを上手く使ってあげる。
という考え方です。

回答No.5

mister_moonlight

どうせ相加平均・相乗平均を使うなら、初めから使えば良い。

a＞0、b＞0から　相加平均・相乗平均より、a+b≧2√(ab)　‥‥(1)、等号は　a＝b　の時。
1/a+1/b≧2√1/(ab)　‥‥(2)　等号は　a＝b　の時。
(1)×(2)より、 (a+b)(1/a+1/b)≧4　‥‥(3)　等号は　a＝b　の時。

(注)
(1)も(2)も等号は　a＝b　の時に成立。従って(3)がいえる事に注意。
(1)と(2)の等号成立条件が異なると、(3)はいえない。

回答No.4

noname#126309

元をたどればベクトルの内積の性質を使っているわけだけどね。
シュワルツの不等式に従ってa,b>0だから
(a+b)(1/a+1/b)≧(a×1/a＋b×1/b)^2=4 で即座に分かる。

回答No.3

naniwacchi

おはようございます。
左辺を展開して、相加・相乗平均の関係を使って見れば・・・

回答No.2

kuma326

(証明）　
左辺ー右辺=(a+b)(1/a+1/b)-4=(a+b)((a+b)/ab)-4=(a+b)の2乗/ab-4
=((a+b)の2乗-4ab)/(ab)=(a-b)の2乗/(ab)≧0 (∵a>0,b>0)
等号はa=bのとき成立

　　　　数式は書き難いですが、何かうまい方法はないものでしょうか？